Programação
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Bem-vindos ao curso de Aplicações de Álgebra Linear!
Aviso: A nota da P1 e o enunciado do EP2 já estão disponíveis abaixo.
A nota do EP1 foi enviada para a pessoa da dupla que postou no e-disciplinas, mas as notas estão anotadas para os dois. (mensagem de 08/07/2023).
Sala de aula: 143-B.
Horário: Terça das 10:00 às 11:40. Quinta das 8:00 às 9:40.
Referências:
- (Principal) Gilbert Strang, Álgebra linear e suas aplicações. Cengage Learning, 2010.
- (Secundária) L. N. Trefethen e David Bau, Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.
- (Secundária) K. Hoffman e R. Kunze, Linear Algebra. Prentice-Hall, 1979. (Livro muito bom, porém com viés mais algébrico, com menos enfoque nas aplicações.)
- (Secundária) G. Allaire e S. Mahmoud Kaber, Numerical Linear Algebra. Springer-Verlag, 2008.
- Em breve mais referências secundárias
Critério de Avaliação:
Seja EP = (EP1+EP2)/2 e P = (P1+P2)/2, em que P1 e P2 são provas e EP1 e EP2 são exercícios de programação.
Se P ≥ 5, então a nota final é 3/4*P+1/4*EP
Se P < 5, então a nota final é P
Nota Final com Prec:
Seja F a nota final antes da rec e Prec a nota da rec. O critério de avaliação é:
1) Se Prec ≤ F, então a nota final é F.
2) Se Prec > F, então a nota final é min{Prec,(F+10)/5}.
Note que basta 5 para passar.
Datas das avaliações:
- Data da P1: 30 de maio de 2023
- Data da P2: 11 de julho de 2023
- Data da PSub: 13 de julho de 2023
- Data da PRec: 25 de julho de 2023
Materiais interessantes na Internet:
- Curso de álgebra linear do Gilbert Strang (MIT open course): https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/
- A UFRGS tem um site bem interessante com materiais de álgebra linear, cálculo numérico (Python, octave e scilab) e outras matérias. Vale a pena dar uma olhada: https://www.ufrgs.br/reamat/
- Curso da Universidade do Texas em Austin (Robert van de Geijn e Margaret Myers): https://www.cs.utexas.edu/users/flame/laff/alaff/frontmatter.html
- Site da Unicamp da Prof. Márcia Aparecida Gomes Ruggiero e de Alfredo Vitorino sobre álgebra linear e aplicações: https://www.ime.unicamp.br/~marcia/AlgebraLinear/index.html
Atividades computacionais:
Buscaremos sugerir atividades com o Python. Para tanto, vocês podem usar o Jupyter Notebook, por exemplo. Ele pode ser obtido baixando o anaconda https://www.anaconda.com (mas, claro, existem outras opções). -
tabela Clique nos dias para ter acesso ao conteúdo
Março Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 26 27 28 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 15 17 18 19 20 22 24 25 26 27 29 31 01
14 de março de 2023
Resumo do dia:
- Matrizes e suas operações básicas: soma, multiplicação por escalar, transposta, multiplicação de matrizes (diversas maneiras de realizá-la).
- Produto interno e norma canônica em Rn.
16 de março de 2023
Resumo do dia:
- Operações elementares sobre as linhas das matrizes. Definição de matrizes elementares.
- Definição de matriz inversível. Toda matriz elementar é inversível e sua inversa também é uma matriz elementar.
- Matrizes equivalentes.
- Matrizes na forma escalonada. Prova de que toda matriz é equivalente a uma matriz na forma escalonada.
21 de março de 2023
Resumo do dia:
- Matrizes na forma escalonada reduzida (rref). Prova de que toda matriz é equivalente a uma matriz na forma escalonada reduzida.
- Decomposição LU sem troca de linhas.
23 de março de 2023
Resumo do dia:
- Decomposição LU com troca de linhas.
- Como resolver um sistema linear Ax=b, quando A=LU.
28 de março de 2023
Resumo do dia:
- Mais um exemplo de fatoração PA = LU e de seu uso para resolver sistemas.
- Soluções de sistemas homogêneos Ax = 0. Variáveis livres e soluções associadas.
30 de março de 2023
Resumo do dia:
- Mais um exemplo de resolução de sistemas homogêneos.
- Propriedade de matrizes inversíveis.
- Propriedade de inversas de matrizes triangulares inferiores e triangulares superiores.
- Unicidade da decomposição LU e LDU para matrizes inversíveis.
Abril Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 26 27 28 29 30 31 01 02 03 05 07 08 09 10 12 14 15 16 17 19 21 22 23 24 26 28 29 30 01 02 03 04 05 06
04 de abril de 2023
Semana Santa.
Não tem aula06 de abril de 2023
Semana Santa.
Não tem aula11 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Problemas lineares não homogêneos: Ax=b.
- Toda solução é da forma xp + xh (solução particular mais alguma solução homogênea).
- Método para achar xp: Escalonamento (método de eliminação Gaussiana) para matrizes aumentadas.
- Exemplos, comparação com decomposição LU (só quando A é quadrada e inversível).
- Complexidade dos algoritmos. Número de operações e algumas conclusões sobre eficiência dos algoritmos.
13 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Um exemplo para mostrar a importância de usar pivotamento parcial.
- Subespaços, dependência linear (L.I. e L.D.), base e dimensão de espaços vetoriais.
- Os quatro subespaços fundamentais de uma matriz: coluna, linha, nulo e nulo à esquerda.
- Método para achar base do espaço linha.
18 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Métodos para achar as bases dos espaços fundamentais.
- Consequências: Posto linha = posto coluna = número de pivôs. Dimensões determinadas pelo posto. Teorema fundamental da álgebra linear parte I.
- Transformações lineares de Rm em Rn e entre espaços vetoriais. Matriz associada a uma transformação linear.
20 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Teorema fundamental da álgebra linear parte II: O complemento ortogonal do espaço linha é o espaço nulo. O complemento ortogonal do espaço coluna é o espaço nulo à esquerda.
- Interpretação usando somas diretas. Demonstração de que toda matriz é uma transformação linear bijetora do espaço linha ao espaço coluna.
- Definição de projeção e projeção ortogonal. Cálculo da projeção ortogonal sobre uma reta.
25 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Cálculo de projeções ortogonais sobre subespaços de Rm. Em particular, sobre o espaço coluna de uma matriz.
- Demonstração de que todo espaço finitamente gerado tem uma base.
- Caracterização de projeções e projeções ortogonais.
- Método dos mínimos quadrados: exemplo.
27 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Caso geral de MMQ em Rm e exemplos.
- Matrizes com colunas ortonormais: caracterizações. Matrizes ortogonais.
Maio Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 30 01 03 05 06 07 08 10 12 13 14 15 17 19 20 21 22 24 26 27 28 29 31 01 02 03
02 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Método de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal.
- Decomposição QR de uma matriz A com colunas LI. Vimos a versão em que Q é retangular e a versão em que Q é quadrada (logo ortogonal). Ambas versões coincidem caso A seja quadrada.
04 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Matrizes de Householder: Definição, interpretação geométrica e propriedades.
- Método de Householder para achar uma deomposição QR de uma matriz com culunas LIs.
- Definição de uma rotação de Givens.
09 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Rotação de Givens e como utilizá-las para fazer uma decomposição QR.
- Espaços com produtos internos e normas (que podem vir ou não de produtos internos). Exemplos.
- Aplicação: Norma de matrizes e número de condicionamento.
11 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Projeções em espaços de dimensão finita com produto interno.
- Aplicação: Método dos mínimos quadrados em Rm com peso (dado pela matriz W), método dos mínimos quadrados contínuos (aproximação de funções).
- Definição de determinantes e determinantes de matrizes 2 por 2.
16 de maio de 2022
Resumo do dia:
Propriedades de determinantes:- det(AB)=det(A)det(B). Em particular, o determinante da inversa é o inverso do determinante.
- det(A transposto)=det(A).
- Ação de operações elementares no determinante.
- Cálculo de determinantes usando escalonamento.
18 de maio de 2022
Resumo do dia:
Demonstração do teorema de existência e unicidade de determinantes.- Expansão em cofatores.
- Fórmula com permutações.
23 de maio de 2022
- Expansão em cofatores usando linhas e colunas.
- Aplicação de determinantes 1: Cálculo de inversa.
- Aplicação de determinantes 2: Resolução de Ax=b (Regra de Cramer).
- Aplicação de determinantes 3: Condição necessária e suficiente para uma matriz inversível admitir uma decomposição LU.
25 de maio de 2022
Resumo do dia:
Resolução e discussão de exercícios das listas de exercícios.30 de maio de 2022
Primeira Prova (P1)
Junho Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 28 29 30 31 02 03 04 05 07 09 10 11 12 14 16 17 18 19 21 23 24 25 26 28 30 01
01 de junho de 2022
Não teve aula.
06 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Motivação para o estudo de autovalores e autovetores via estudo de EDOs.
- Método para achar autovalores: achar as raízes do polinômio característico.
- Método para achar autovetores: achar o espaço nulo de A-lambda, em que lambda é autovalor.
- Matrizes diagonalizáveis. Definição.
08 de junho de 2022
Recesso Corpus Christi.
Não tem aula13 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Autovalores e autovetores de transformações lineares.
- Receita para diagonalizar matrizes: Exemplos.
- Transformações lineares adjuntas, autoadjuntas, unitárias e normais.
15 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Propriedade dos autovalores e autovetores de operadores autoadjuntos, unitários e normais.
- Demonstração do Teorema espectral para operadores normais. Em particular, vimos que as matrizes unitárias e autoadjuntas são diagonalizáveis.
- Começo de discussão sobre a forma de Jordan.
20 de junho de 2022
- Lema de Schur.
- Ideias principais da demonstração do Teorema de Jordan.
- Determinante e traço em termos dos autovalores.
- Começo da discussão sobre método das potências.
22 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Convergência do método das potências. Método das potências inversas e método das potências com deslocamentos.
- Descrição do algoritmo QR.
- Definição de matrizes de Hessenberg e tridiagonais.
27 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Transformação de uma matriz A em uma matriz de Hessenberg (ou triangular quando A é simétrica) usando transformação de Householder.
- Transformação de A tridiagonal em A=QR usando rotações de Givens. Prova de que se A=QR é tridiagonal, então RQ também é tridiagonal.
- Descrição do algoritmo QR para achar autovalores para matrizes simétricas usando as considerações acima (Householder e Givens)
- Início da discussão de métodos iterativos para resolução de Ax=b.
29 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Exemplos de iteração com os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel
- Escrevendo os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel em termos matriciais.
- Critério necessário e suficiente para que A^k vá a zero, em que A é uma matriz.
- Convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel em termos dos autovalores das matrizes associadas.
Julho Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 25 26 27 28 29 30 01 02 03 05 07 08 09 10 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 28 29 30 31 01 02 03 04 05
04 de julho de 2022
Resumo do dia:
- Matrizes positivas definidas e semidefinidas.
- Caracterização das matrizes positivas usando determinantes, pivôs e autovalores.
- Decomposição de Cholesky.
- Enunciado e prova da decomposição SVD. Exemplo.
06 de julho de 2022
Resumo do dia:
Resolução e discussão de exercícios das listas de exercícios.11 de julho de 2022
Segunda Prova (P2)13 de julho de 2022
Prova substitutiva (Psub)25 de julho de 2022
Prova Rec (Prec) -
Abaixo estão as notas de aula. Elas são próximas ao que foi dado na aula.
Embora as notas sejam disponibilizadas com o intuito de ajudá-los, peço para terem cuidado com possíveis erros, já que elas não foram cuidadosamente revisadas. Para um estudo mais aprofundado, dê preferência ao livro. -
O livro do Strang contém diversos exercícios. Recomendamos fortemente que resolvam uma quantidade grande deles.
Abaixo, fazemos apenas uma pequena seleção de exercícios para fixação dos conceitos relacionados a um certo período de tempo (semana, por exemplo).
Para algumas soluções, digite no google "linear algebra and its applications strang edisciplinas". A partir da página 483 do livro que será encontrado, diversas soluções podem ser encontradas.