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Bem-vindos ao curso de Tópicos de Matemática Aplicada!
Aviso: Não haverá aula no dia 31 de maio de 2023.
Sala de aula: ADM 207 - Primeiro andar no IAGC.
Horário: Quarta das 8:00 às 9:40. Sexta das 10:00 às 11:40.
Referências:
- (Principal) Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications. Vol. 4. American Mathematical Soc., 2009.
- Djairo Guedes de Figueiredo, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. IMPA, 2018.
- Walter Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley (second edition), 2007.
- Notas de aula. Estão disponíveis abaixo. Serão constantemente atualizadas.
Critério de Avaliação: 3/8*P1 + 1/8*L1 + 3/8*P2 + 1/8*L2
Nota Final:
Seja F a nota final antes da rec e Prec a nota da rec. O critério de avaliação é:
1) Se Prec < F, então a nota final é F.
2) Se Prec > F, então a nota final é min{Prec,(F+10)/5}.
Note que basta 5 para passar.
Datas das avaliações:
- Data da P1: 02 de junho de 2023.
- Data da P2: 07 de julho de 2023
- Data da PSub: 14 de julho de 2023
- Data da PRec: 26 de julho de 2023
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tabela Clique nos dias para ter acesso ao conteúdo
Março Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 26 27 28 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 16 18 19 20 21 23 25 26 27 28 30 01
15 de março de 2023
Resumo do dia:
- Apresentamos as três equações da física matemática que mais serão estudadas ao longo do curso: A equação de Laplace (Poisson), a equação do calor e a equação da onda.
- Apresentamos as condições de contorno de Dirichlet, de Neumann e de Robin e suas interpretações físicas.
- Apresentamos as condições iniciais para as equações do calor e da onda.
- Apresentamos uma dedução física da equação do calor.
17 de março de 2023
Resumo do dia:
- Demonstração da unicidade de solução da equação do calor (via o método de energia).
- Descrição de um método para encontrar a solução da equação do calor: o método de separação de variáveis. Para tanto, usamos o princípio da superposição.
22 de março de 2023
Resumo do dia:
- Retomamos o problema do calor com condição de contorno de Dirichlet da aula anterior. Escrevemos a solução geral e para o caso particular em que u(0,x)=x.
- Encontramos a solução da equação do calor com condições de contorno de Neumann.
24 de março de 2023
Resumo do dia:
- Não houve aula. O IAG fechou devido à greve de metrô.
29 de março de 2023
Resumo do dia:
- Introdução às séries de Fourier real e complexa.
- Recordação de números complexos.
- Determinação dos coeficientes de Fourier na forma real e complexa. Relação entre as duas formas.
- Série de Fourier de funções periódicas pares e ímpares.
31 de março de 2023
Resumo do dia:
- Série de Fourier em intervalos [-L,L].
- Série de Fourier par e ímpar em intervalos [0,L].
- Início do estudo de convergência da série de Fourier. Demonstração da Desigualdade de Bessel.
Abril Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 26 27 28 29 30 31 01 02 03 04 06 08 09 10 11 13 15 16 17 18 20 22 23 24 25 27 29 30 01 02 03 04 05 06
05 de abril de 2023
Semana Santa.
Não tem aula07 de abril de 2023
Semana Santa.
Não tem aula12 de abril de 2023
Resumo do dia:
Hoje demonstramos o teorema de convergência pontual de séries de Fourier.- Definimos funções C1 por partes.
- Escrevemos a série de Fourier como uma convolução.
- Demonstramos o teorema e apresentamos, como exemplo, uma série para o cálculo de pi e outra para o cálculo de pi ao quadrado.
14 de abril de 2023
- Definição e exemplos de convergência uniforme.
- Enunciamos o seguinte resultado: Se f é 2pi-periódica, contínua e C1 por partes, então a série de Fourier converge uniformemente.
- Revisão de álgebra linear: produto interno, ortogonalidade e bases ortonormais.
19 de abril de 2023
- Expansão e normas escritas em função da base em espaços de dimensão finita.
- Generalização de bases para espaços de funções (dimensão infinita): expansão e normas em termos da base.
- Teorema: as funções trigonométricas e exponenciais das séries de Fourier real e complexa formam uma base.
- Consequências: Fórmula de parseval e convergência das séries de Fourier em L2 (quadrado integrável).
- Comparação dos tipos de convergências.
21 de abril de 2023
Recesso do Feriado de Tiradentes.
Não tem aula26 de abril de 2023
- Dedução da equação da onda: corda vibrante.
- Unicidade de soluções da equação da onda definida em [0,L] e com condições de contorno de Dirichlet: método de energia.
- Existência de soluções da equação da onda definida em [0,L] e com condições de contorno de Dirichlet e Neumann.
28 de abril de 2023
Resumo do dia:
- Métodos para resolução de problemas não homogêneos.
- Primeiro método: Procuramos a solução estacionária. Só funciona se a fonte de calor e as condições de contorno independem do tempo.
- Segundo método: Espandimos as soluções em termos de seno (Dirichlet) e cosseno (Neumann). A partir daí determinamos os coeficientes.
Maio Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 30 01 02 04 06 07 08 09 11 13 14 15 16 18 20 21 22 23 25 27 28 39 30 01 02 03
03 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Resolução da equação da onda com forças externas dependentes do tempo.
- Resolução da equação do calor com condições de contorno periódicas.
- Interpretação dos resultados.
05 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Resolução da equação da onda com condições de Dirichlet numa ponta e Neumann noutra.
- Resolução da equação do calor com coeficientes dependentes de x e condições de Dirichlet.
- Problema de Sturm-Liouville: Enunciado do problema, Teorema de Sturm-Liouville (existência de base de autovetores) e analogia com álgebra linear.
10 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Exemplos de problemas de Sturm-Liouville: condições de Dirichlet, Neumann, periódicas e mistas.
- Expansão de funções nas bases obtidas nos exemplos acima.
- Aplicação: Equação da onda com condição mistas de contorno.
12 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Equação da onda e do calor com condições de Dirichlet em Rn.
- Separação de variáveis e o problema de autovalores do Laplaciano com condições de Dirichlet.
- Resolução do problema de autovalores no retângulo e obtenção das soluções das equações da onda e do calor.
17 de maio de 2022
Resumo do dia:
Equação de Laplace.- Motivação: Temperatura de um corpo em equilíbrio térmico.
- Primeiro exemplo: Equação de Laplace no retângulo.
- Segundo exemplo: Equação de Laplace na bola.
19 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Término da equação de Laplace na bola.
- Terceiro exemplo: Equação de Laplace em um setor.
24 de maio de 2022
Resumo do dia:
- Equação da onda e do calor numa bola.
- Problema de autovalores numa bola e a equação de Bessel.
- Funções de Bessel de primeiro e segundo tipo (funções de Weber).
- Aplicação na solução da equação do calor e da onda. Ilustração com Wikipedia e Youtube.
26 de maio de 2022
Resumo do dia:
Resolução e discussão de exercícios das listas de exercícios.31 de maio de 2022
Não teve aula.
Junho Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 28 29 30 31 01 03 04 05 06 08 10 11 12 13 15 17 18 19 20 22 24 25 26 27 29 01
02 de junho de 2022
Primeira Prova.
07 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Motivação para a definição de transformada de Fourier usando a série de Fourier.
- Propriedades da tranformada de Fourier. Em particular, a série de Fourier leva derivadas em polinômios e polinômios em derivadas.
- Demonstração da inversa da transformada de Fourier.
09 de junho de 2022
Feriado de Corpus Christi.
Não tem aula.14 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Exemplos de uso da transformada de Fourier inversa.
- Fórmula de Parseval e um exemplo de aplicação. Comentário sobre a transformada de Fourier definida nas funções de quadrado integrável.
- Convolução: definição, propriedades básicas e suas relações com a transformada de Fourier.
16 de junho de 2022
Resumo do dia:
Aplicações da transformada de Fourier.- Problema 1) u''-u=f.
- Problema 2) Equação do calor em R. Dedução do núcleo do calor e suas propriedades.
- Problema 3) Começo do estudo da equação da onda em R.
21 de junho de 2022
Resumo do dia:
Aplicações da transformada de Fourier.- Problema 3) A equação da onda em R. Fórmula de d'Alembert.
- Problema 4) Equação de Laplace no semiplano.
- Propriedades do núcleo de Poisson.
23 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Transformadas de Fourier de funções ímpares e pares.
- Transformadas de Fourier seno e cosseno.
- Aplicação da transformada de Fourier seno para resolução da equação do calor na semireta.
28 de junho de 2022
Resumo do dia:
- Funções de Green para problemas de valor inicial.
- Motivação: Equação da mola com força externa. Queda de uma partícula sofrendo uma força externa.
- Função de Green para problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem.
30 de junho de 2022
Resumo do dia:
- FUnção de Green para problemas de valor inicial de qualquer ordem.
- Função de Green para problemas de contorno de dimensão um.
- Exemplos de resolução de problemas de contorno de dimensão um.
Julho Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado 25 26 27 28 29 30 01 02 03 04 06 08 09 10 11 12 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 29 30 31 01 02 03 04 05
05 de julho de 2022
Resumo do dia:
Revisão da matéria e resolução de exercícios.07 de julho de 2022
Segunda Prova (P2)14 de julho de 2022
Prova Substitutiva (Psub)26 de julho de 2022
Prova Rec (Prec) -
As soluções dos exercícios contêm alguns errinhos. Use o senso crítico para estudá-las
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