Course: MAP0125 - Cálculo Numérico para Geociências (2023) | e-Disciplinas
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Informações gerais
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Eduardo Colli/Claudio Asano
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[Versão 31.05] (Lista única, que vai crescendo com acréscimos em ordem cronológica e datas nos exercícios.)
Nesta versão, foram acrescentados exercícios de Método de Newton. O exercício 20 depende da aula do dia 01 e, talvez, a seguinte.
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Não é um gabarito organizado. São apenas as minhas contas feitas antes de corrigir as provas. Qualquer dúvida, é só chamar.
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Na última linha estão as médias, normalizadas de 0 a 10, considerando apenas os alunos presentes.
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Gabarito abaixo.
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Na lousa.
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Aula a aula: MMQ, Sistemas lineares, Aritmética de ponto flutuante.
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Parâmetros da disciplina. Breve introdução da ementa da disciplina. Introdução: sistemas lineares com o exemplo das colunas de madeira. Coleta de 5 dados altura x tamanho da mão.
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Primeiro caso de MMQ: ajuste de reta. Como o problema de achar a reta 'mais próxima' dos pontos se transforma em um sistema linear, desde que 'mais próxima' seja definida com a soma dos resíduos quadráticos.
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Fazendo um ajuste de reta com MMQ. (O gráfico final ficou para a aula seguinte)
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Generalizando as ideias de MMQ do ajuste de reta para sistemas lineares sobredeterminados (ainda com apenas 2 incógnitas). O sistema normal, usando a notação de produto escalar para os coeficientes. Os produtos escalares são feitos entre os vetores gerados pelas colunas do sistema sobredeterminado original.
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Método de Eliminação Gaussiana (com Aritmética de Ponto Flutuante e Condensação Pivotal) em um exemplo de sistema linear 3x3, usando APF com 2 algarismos significativos.
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Cada metade da sala resolveu um sistema linear sobre as colunas de madeira: um grupo fez com as 4 primeiras colunas e outro com as 4 últimas. Os valores usados estão juntados no PDF. Vimos que os 4 últimos se lascaram, mas vamos entender o que aconteceu na aula seguinte.
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Esclarecimentos sobre o 'problema' ocorrido no 2o sistema linear da atividade: a ocorrência de duas linhas muito parecidas. Intuição geométrica ilustrando o problema em um sistema 2x2. A solução do problema das densidades por MMQ. Obtenção do sistema normal por multiplicação matricial, usando a transposta dos coeficientes.
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Atividade: Ajuste de função quadrática por MMQ para os dados de concentração de CO2 na atmosfera. (1) Montagem do sistema normal a partir da tabela de dados. (2) Resolução do sistema usando eliminação gaussiana.
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Entendendo a validade do método de MMQ que aprendemos: como identificar uma equação linear nos parâmetros. Um exemplo real, que é um refinamento da Lei de Darcy. (Tirado da Wikipedia)
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MMQ com pesos.
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O coeficiente de determinação (R^2).
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Equações e zeros de funções. Método de Newton.
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Breves comentários sobre as questões da prova. Apresentando a matemática do método de datação 'concórdia/discórdia'. Termina na aula seguinte.
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Terminando a discussão de concórdia/discórdia: os pontos de intersecção entre concórdia e discórdia vistos como uma equação de uma variável. Resolver uma equação é o mesmo que achar as raízes (ou zeros) de uma função. O método da bissecção e como estimar o número de etapas para alcançar uma determinada precisão.
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"Tirando" raiz quadrada com operações elementares: Método da Bissecção (que é muito lenta). Método de Newton, com fórmula misteriosa. Explicando o Método de Newton. Uso da calculadora para o Método de Newton.
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Atividade para treinar o Método de Newton e pensar um pouquinho sobre funções, gráficos e equações.
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Modelagem do reservatório esférico. Volume em função da altura, e o problema de achar a altura dado o volume. Normalização pelo volume relativo (ao volume total) e pela altura relativa (ao raio da esfera). Redução final: problema de achar uma raiz de uma função cúbica.
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Aplicação do método de Newton com consciência, em função das características da função: crescimento/decrescimento e concavidade. Escolha da condição inicial com garantia de convergência.
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Atividade f(x)=x + 4cos(x), parte II
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Integração numérica
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Revisão dos conceitos básicos de integral, incluindo o Teorema Fundamental do Cálculo.
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Método dos Trapézios para aproximação numérica de integrais.
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Atividade de Método dos Trapézios combinada com Método de Newton.
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Revisão de método dos Trapézios e de Método de Newton.
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