Diagrama de temas
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Os vídeos das Aulas 24 e 25 já estão disponíveis.
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1) Princípios Gerais e Formalismo (uma revisão)
2) Formalismo de Matriz Densidade ou Operador Estatístico
3) Quantização Canônica
4) Equações de Movimento: Descrições de Schrödinger e de Heisenberg
5) Propagadores e Funções de Green
6) Formalismo de Integrais de Trajetória
7) Simetrias e Leis de Conservação
8) Momento Angular
9) Oscilador Harmônico, Estados Coerentes e Níveis de Landau
10) Problemas de 2 corpos
11) Teoria de Perturbação e Método Variacional
12) O Problema de Kepler e o átomo de Hidrogênio
13) Estrututa Fina e Hiperfina
14) Efeito Zeeman e Efeito Stark
15) Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas
16) Teoria de Perturbação Dependente do Tempo e Aplicações
17) Aproximação Adiabática
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1) Quantum Mechanics: Fundamentals, Kurt Gottfried e Tung-Mow Yan, Springer (2004)
2) Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Addison-Wesley (1994)
3) Lectures on Quantum Mechanics, Steven Weinberg, Cambridge University Press (2015)
4) Quantum Mechanics vol. I e II, A. Messiah, North Holland, Amsterdam (1962).
Bibliografia Complementar:
1) Intermediate Quantum Mechanics, Hans Bethe e Roman Jackiw, Addison-Wesley (1997) -
Em particular veja Cap. 4 (Self-Consistence Field) - Hartree-Fock. (Livro Clássico)
2) The Theory of Atomic Spectra, E.U Condon e G.H. Shortley, Cambridge University Press (1959). (Livro Clássico)
3) Physics of Atoms and Molecules, B.C.J. Brandsen, Longman (1983).
4) Molecular Quantum Mechanics, R. Friedman e P Atkins, Oxford University Press (2005)
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Segundas-feiras das 14 as 16 h - Auditório Norte
Aula Teórica
Quartas-feiras das 14 as 16 h - Auditório Norte
Trabalhos Dirigidos (TD)
Quintas-feiras das 14h30 as 16h30 - Auditório Norte
Aula Teórica
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Aqui vocês encontrarão as listas de exercícios semanais da disciplina. As listas serão discutidas às segundas-feiras nos TDs. No dia do TD vocês deverão ter feito a lista e estar preparados para ir à lousa resolver alguns dos exercícios que serão selecionados pelo monitor da disciplina nesse dia. Um ou mais exercícios que ele selecionar de cada lista deverão ser entregues a ele para correção e nota. Isso poderá ser feito por download na página.
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Entregar o exercício 6 para nota
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Entregar o exercício 7 para nota
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Resolução de exercícios da lista 2.
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Entregar o exercício 5 para nota
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Resolução de exercícios da lista 3.
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Notebook do Mathematica com o plot da densidade de probabilidade associada um pacote de onda se propagando livremente. No notebook vocês podem usar a interface da função Manipulate para mudar os parâmetros associados ao problema.
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Entregar os exercícios 2 e 3 para nota
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Resolução de exercícios da lista 4.
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Entregar exercícios 6 e 7 para nota
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Resolução de exercícios da lista 5.
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Entregar exercício 4 para nota
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Resolução dos exercícios da lista 6
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Entregar o exercício 4 para nota
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Resolução dos exercícios da lista 7.
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Entregar o exercício 2 para nota.
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Resolução dos exercícios da lista 8
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Entregar exercício 6 para nota
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Resolução dos exercícios da lista 9
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Entregar exercício 2 para nota
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Resolução dos exercícios da lista 10
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Entregar o exercício 1 para nota.
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Resolução dos exercícios da lista 11.
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Listas (20%) + Média Ponderada das Provas (80%)
Prova 1 : 16/4 (30%)
Prova 2 : 10/6 (50%)
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Faça os três exercícios com cuidado, explicando cada passo e de forma legível, por favor.
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Faça os três exercícios com cuidado, não deve levar mais de uma semana para terminar. Entregar até dia 1/7.
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As aulas das segundas-feiras e quintas-feiras serão transmitidas online e gravadas.
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Esse chat poderá ser utilizado para tirar dúvidas com o Monitor da disciplina
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Chats todas as quintas-feiras das 10 as 11 pm
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Aqui você encontrará as notas de aula de cada aula de Mecânica Quântica para auxiliá-lo a acompanhar as aulas online. Há alguns typos nas notas, elas não foram revisadas. Cuidado!
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Aqui você encontrará os videos das aulas online.
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Aula do dia 18 de março de 2020. Discutimos alguns aspectos do formalismo de matriz densidade e iniciamos a quantização canônica (formalismo e aspectos ligados a simetrias).
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Aula do dia 19 de março de 2020. Nesta aula discutimos as relações de incerteza entre as medidas de observáveis incompatíveis, além de duas descrições da evolução temporal na Mecânica Quântica: a descrição de Schrödinger e a descrição de Heisenberg.
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Aula do dia 25 de março de 2020. Nessa aula discutimos a evolução temporal de sistemas quânticos quando \( H=H(t) \).Introduzimos a expansão de Dyson, preparando para teoria de perturbação. Definimos propagador como o kernel da equação integral de Schrödinger quando \( H=H(t) \) e mostramos que no caso de \( H \) não depender do tempo o kernel da equação é a função de Green. Calculamos, como exemplo, o propagador de um sistema de partículas livres.
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Aula do dia 26 de março de 2020. Fazemos aqui uma introdução do formalismo de Integrais de Trajetória, como uma visão alternativa da Mecânica Quântica que permite colocar em correspondência explícita as Mecânicas Clássica e Quântica. Usamos esse formalismo para mostrar outra forma de calcular o propagador, enfatizando no entanto que sua generalização é fundamental em áreas como Teoria Quântica de Campos e Mecânica Estatística (Sistemas Críticos e Transições de Fase).
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Aula do dia 1 de abril de 2020 discutimos simetrias na Mecânica Quântica, simetrias contínuas como de translação e rotação implementadas por operadores unitários e induzidas por geradores de grupos de Lie e simetrias discretas, também implementadas por operadores unitários, como a simetria de reflexão espacial. Definimos o que são os operadores de momento angular na Mecânica Quântica assim como o que são operadores escalares e vetoriais. Discutimos quando operadores são ligados a quantidades conservadas.
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Aula do dia 2 de abril de 2020. Abordamos aqui o momento angular na Mecânica Quântica a partir de considerações de simetria. Discutirmos o espectro geral dos operadores do momento angular e as consequências para as propriedades gerais dos espaços de Hilbert de j fixo de dois teoremas relacionados a propriedades do espectro de \( J_z \) que são invariantes de base. Exemplificamos com os caso especiais de spin \( j=1/2 \) e \( j=1\) e depois generalizamos esses resultados para spin arbitrário.
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Aula do dia 6 de abril de 2020. Nesta aula discutimos a adição de momento angular na Mecânica Quântica, mostramos que existem duas bases que podemos usar para descrever o sistema composto de dois sub-sistemas de momento angular \( j_1\) e \( j_2 \): a base desacoplada e a base acoplada. Calculamos os valores possíveis para o momento angular total do sistema. Vemos que o espaço de Hilbert \( {\cal H}_{j_1 j_2} \) é um espaço redutível que pode ser decomposto em espaços irredutíveis 2( \(j_1+j_2)+1\),..., \(2 \vert j_1-j_2 \vert+1\) invariantes por rotação. Encontramos a relação entre as bases acoplada e desacoplada definindo os chamados coeficientes de Clebsh-Gordan. Finalmente, discutimos as regras de seleção para os elementos de matriz não nulos de um operador vetorial na base \( \{ \vert jm \rangle \} \) a partir de propriedades de rotação.
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Aula do dia 13 de abril de 2020. Nessa aula discutimos sistemas que podem ser descritos pelo Hamiltoniano de um oscilador harmônico livre e encontramos os autovetores e autovalores desse sistema, construindo assim o espectro livre. Definimos os operadores de abaixamento e levantamento que nos auxiliam a construir os estados estacionários e a calcular o valor esperado de diversos observáveis. Em seguida, consideramos o Hamiltoniano que descreve um oscilador forçado. Encontramos as equações de Heisenberg para o operador de abaixamento e a solução dessa equação. Introduzimos o operador deslocamento que nos auxilia a descrever a evolução temporal do operador de abaixamento. Construimos o estado fundamental evoluído no tempo sob ação do potencial de um oscilador harmônico forçado.
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Aula do dia 15 de abril de 2020. Nesta aula definimos estados coerentes, que são estados particulares do oscilador harmônico cujo valor esperado dos operadores de coordenada e momento tem evolução temporal semelhante à evolução clássica. Esses estados tem a propriedade de que as incertezas na posição e momento saturam a relação de incerteza de Heisenberg, o que é uma propriedade conservada pela evolução temporal do estado. Desenvolvemos aqui o formalismo de Glauber construindo os estados coerentes, autoestados do operador de abaixamento \( a \), deslocando o estado fundamental do oscilador harmônico livre usando o operador deslocamento \( D(z) \). Discutimos também o caso de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme e mostramos como esse problema se relaciona ao de um oscilador harmônico unidimensional.
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Aula do dia 22 de abril de 2020. Nessa aula discutimos o problema de uma partícula carregada em um campo magnético estático e uniforme no gauge simétrico. Encontramos os auto-estados simultâneos do Hamiltoniano no plano transversal à direção do campo magnético e de momento angular \( L_z \). Mostramos que existem infinitos estados para cada nível da Landau. Discutimos o mesmo problema usando estados coerentes, sem a necessidade da escolha de um gauge particular. Calculamos no gauge simétrico as funções de onda dos estados fundamentais do sistema e mostramos que elas tem as propriedades esperadas, em particular, que são autoestados de \( L_z \).
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Aula do dia 27 de abril de 2020. Nesta aula estudamos o problema de dois corpos com um potencial central em Mecânica Quântica. Mostramos como podemos separar o problema em dois: o do Hamiltoniano do centro de massa e o do Hamiltoniano relativo. Como o problema do centro de massa se reduz a o de uma partícula livre com a massa e momento total do sistema composto, discutimos também como descrever uma partícula livre usando a base de ondas planas (autoestados simultâneos das três componentes do momento da partícula) ou usando a base de autoestados simultâneos da energia, momento angular orbital \( L^2 \) e projeção \( L_z \) do momento angular orbital da partícula. Voltando ao problema de dois corpos, consideramos o sistema relativo também nessa base. Essa formulação se presta tanto ao estudo de espalhamento como o de sistemas ligados. A simetria de rotação permite mostrar que a única parte ainda não resolvida do problema é a que diz respeito a função de onda radial.
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Aula do dia 29 de abril de 2020. Nessa aula discutimos um método de aproximação para determinar os autovalores e autovetores de um Hamiltoniano \( H_0 + \lambda W \),onde inicialmente conhecemos os autovalores e autovetores de \( H_0 \). Esse método, denominado de método perturbativo, pressupõe que \( \lambda W\) seja em "algum sentido" muito menor do que \( H_0\). O método se baseia em uma expansão em série de potência de \( \lambda \), o parâmetro perturbativo, que em geral, não é uma série convergente, mas assintoticamente convergente. O tratamento é naturalmente diferente para a correção de níveis degenerados e não degenerados. Desenvolvemos o método nesses dois casos.
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Aula do dia 04 de maio de 2020. Nessa aula discutimos o método variacional para estimar a energia do estado fundamental de um sistema físico descrito por um Hamiltoniano independente do tempo, finalizando assim os dois métodos de aproximação para estados estacionários que veremos nessa disciplina. Discutimos também o átomo de hidrogênio do ponto de vista de simetrias dinâmicas, mostrando como as degenerescências dos níveis de energia do átomo de hidrogênio estão relacionadas ao fato que o vetor de Runge-Lenz é uma constante de movimento do problema. Encontramos os níveis de energia desse sistema usando o método algébrico proposto por Pauli.
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Aula do dia 6 de maio de 2020. Nesta aula discutimos as correções relativísticas de ordem mais baixa \( (Z \alpha) \)2 para o espectro de energia do átomo de hidrogênio: correção cinética, correção do acoplamento spin-órbita e correção de Darwin. Cálculamos essas correções usando teoria de perturbação de estados degenerados. Mostramos que a única correção que produz quebra parcial da degenerescência dos níveis é a correção do acoplamento spin-órbita \( \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \) e que a mudança dos níveis de energia não depende de \( l \) (número quântico orbital), mas apenas de \( j \) (o momento angular total do elétron). Os níveis de mesmo \( n \) e mesmo \( j \) continuam degenerados. Discutimos também as condições para efeitos de estrutura hiperfina.
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Aula do dia 11 de maio de 2020. Nessa aula discutimos as correções de estrutura hiperfina que aparecem no espectro atômico devido a interação do spin do núcleo com o(s) elétron(s). Como vimos na última aula apenas múltiplos magnético ímpares e elétricos pares podem dar origem a correções não nulas. Discutimos na aula de hoje as correções de dipolo magnético (M1), única correção para os estados do hidrogênio e as correções de quádruplo elétrico (E2) - correção que aparece quando o spin do núcleo é igual ou maior do que 1. Calculamos, em especial, a correção de estrutura fina para o estado fundamental 1\(s_{1/2}\) do átomo de Hidrogênio que dá origem a famosa linha de 21 cm tão usada na astronomia.
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Aula do dia 13 de maio de 2020. Nessa aula discutimos os chamados efeitos Zeeman e Stark, que são efeitos de quebra de degenerescências e desvios nos espectros atômicos (de íons e de moléculas) causados por campos magnéticos (Zeeman) e elétricos (Stark) externos uniformes. Como esses campos definem uma direção privilegiada no espaço eles quebram a simetria de rotação desses sistemas, mantendo apenas a simetria de rotação em torno do eixo definido pela direção do campo, deixando apenas a projeção do momento angular naquela direção constante. Discutimos como tratar esse dois efeitos separadamente em teoria de perturbação, levando em conta o Hamiltoniano de Estrutura fina.
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Aula do dia 18 de maio de 2020. Nessa aula começamos a discussão de átomos com muitos elétrons, para isso tratamos como a conexão spin estatística e o Principio de Pauli têm consequências nas funções de onda de muitos elétrons. Usamos como exemplo o átomo de He, construindo o estado fundamental e os primeiros estados excitados a partir das soluções de partícula única, aplicando teoria de perturbação e o Principio de Pauli.
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Aula do dia 20 de maio de 2020. Nessa aula discutimos as equações de Hartree (e de Hartree-Fock), equações integro-diferencias acopladas que se baseia na aproximação de campo médio para resolver o problema de átomos com muitos elétrons. Mostramos com essas equações podem ser derivadas usando o Principio Variacional. Discutimos também a aproximação de Born-Oppenheimer (aproximação adiabática) para tratar moléculas dividindo o problema em dois: um para a dinâmica eletrônica e outro para a dinâmica nuclear. Aplicamos o método para a molécula \(H_2^+\).
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Aula do dia 25 de maio de 2020. Nessa aula discutimos como resolver a parte eletrônica da aproximação de Born-Oppenheimer usando o método de combinação linear de orbitais atômico (Linear Combination of Atomic Orbitals - LCAO). Aplicamos esse método para obter a energia do estado fundamental da molécula \(H_2^+\). Mostramos que temos uma configuração de orbital ligante e outra anti-ligante. Encontramos uma estimativa para a energia de ligação do elétron e o tamanho da molécula \(H_2^+\).
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Aula do dia 27 de maio de 2020. Nessa aula discutimos a teoria de perturbação dependente do tempo a partir da série de Dyson para a descrição de interação. Desenvolvemos a série até primeira ordem para discutir o caso de uma perturbação repentina que se instala em t=0. Consideramos dois casos: o caso de transições entre estados discretos e o caso de transição entre discreto e contínuo. Chegamos à taxa de transição descrita pela regra Áurea de Fermi.
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Aula do dia 1 de junho de 2020. Nessa aula discutimos a aplicação da teoria de perturbações dependente do tempo para o caso de uma perturbação harmônica que pode modelar a interação de um sistema ligado atômico com uma onda eletromagnética. Examinamos dois exemplos de utilização dessa modelagem: a) para descrever transições atômicas na aproximação de dipolo que é válida para o caso em que o comprimento de onda é muito maior que as dimensões atômica e b) para descrever o efeito foto-elétrico.
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Aula do dia 3 de junho de 2020. Nessa aula discutimos como na Mecânica Quântica podemos entender o decaimento de um estado excitado. Usamos para isso teoria de perturbações dependente do tempo para calcular a taxa de permanência de um estado inicial do espectro discreto submetido a um potencial constante no tempo durante um certo intervalo de tempo até segunda ordem em teoria de perturbações. Mostramos que a perturbação tem dois efeitos: corrigir a energia do estado inicial e acoplar o estado inicial com estados do contínuo, o que leva ao decaimento do estado inicial para esses estados do contínuo.
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