Programação
Geral
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Programa de Mecânica Quântica II
Simetrias em Mecânica Quântica
- Teorema de Wigner
- Operador de Reversão Temporal
- Grupo de Rotações e suas Representações Irredutívies
- Operadores Tensoriais
- Teorema de Wigner-Eckart
- Grupos de Lorentz e Poincaré e suas Representações Irredutíveis
- Teoria Geral de Espalhamento
- Matrix T e Matrix S
- Relação entre S e o operador de Evolução Temporal
- Unitariedade de S e o teorema ótico
- Seções de Choque e Taxas de Transição
- Diversos Exemplos de Espalhamentos Elásticos e Inelásticos
- Ressonâncias
Mecânica Quântica Relativística- Equações de onda relativísticas
- Equações de Klein Gordon e de Dirac e suas soluções
- Matrizes gama e suas representações
- Transformações de Lorentz dos espinores; espionores de Weyl
- Estados estacionários de átomos hidrogenóides e espectro de energia
- Paradoxo de Klein
- Problemas com a interpretação de ψ como função de onda
Segunda Quantização- Espaços de Fock
- Operadores de criação e aniquilação
- Regras de comutação (anticomutação) para bósons (férmions)
- Operadores de campo e suas regras de comutação ou anticomutação
- Bases do Espaço de Fock definidas pelos operadores de campo
- Estados de N-partículas em segunda quantização
- Operadores em segunda quantização
- Evolução temporal em segunda quantização
- Gás de Fermions e Bósons
Quantização do Campo Eletromagnético
- Quantização do Campo Eletromagnético Livre no Gauge de Coulomb
- Fótons e suas propriedades
- Consequências da Invariância de Gauge
- Relações de comutação para os Campos
- Flutuações do Vácuo
- Interação entre o Campo Eletromagnético e Átomos: absorção & emissão espontânea e estimulada
- Espalhamento Fóton-Átomo (Thomson, Rayleigh, Raman e fluorescência)
- Estados especiais do Campo Eletromagnético quantizado: estados de número de ocupação, estados coerentes e estados comprimidos
- Modelo de Jaynes-Cummings: oscilação de Rabi do vácuo e colapso e ressurgimento quântico
Bibliografia
1) Quantum Mechanics: Fundamentals, Kurt Gottfried e Tung-Mow Yan, Springer (2004).
2) Lectures on Quantum Mechanics, Steven Weinberg, Cambridge University Press (2015).
3) Modern Quantum Mechanics, J.J. Sakurai, Addison-Wesley (1994).
4) Advanced Quantum Mechanics, J. J. Sakurai, Pearson Education, Incorporated, (1967).
5) Quantum Mechanics vol. I e II, A. Messiah, North Holland, Amsterdam (1962).Informação sobre as Aulas
Segundas-feiras das 14 h às 16 h - online
Aula Teórica
Quartas-feiras das 14 h às 16 h - online
Aula Teórica
Quintas-feiras das 14 h às 16 h - onlineTrabalhos Dirigidos (TD)
Não haverá aulas nos dias: 7/9, 12/10, 28/10 e 2/11Listas de Exercícios
Aqui vocês encontrarão as listas de exercícios semanais da disciplina. As listas serão discutidas às quintas-feiras nos TDs.
Avaliação
Listas (40%) + Seminário (60%)
Aqui em breve você encontrará a lista de tópicos para os seminários do final do semestre. Você deverá escolher um desses tópicos. Os seminários serão nos dias 23/11, 25/11, 26/11, 30/11 e 2/12.
Tópicos:
1) Sistemas Quânticos Abertos
Bibliografia:(1) E.B. Davies, Quantum Theory of Open Systems, Academic Press (1976); (2)W. H. Louisell, Quantum Statistical Theory of Radiation, Wiley (1973); (3) A. Peres, Quantum Theory, Concepts and Methods, Kluwer (1993), Cap. 9; (4)M. Nielsen e I. Chuang, Quantum Computationand Quantum Information, Cambridge University Press (2001)
2) Condensados de Bose-Einstein
Bibliografia: (1) F. Dalfovo, S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, S, Stringari, Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999); (2) C. Cohen-Tannoudji, J. Dalibard e F. Laloe, La condensation de Bose-Einstein dans les gaz, em Einstein aujourd'hui p. 87, M. Le Bellac e M. Leduc (eds.) (2005); (3) C. Cohen-Tannoudji, Condensats de Bose-Einstein atomiques, curso disponível em www.lkb.ens.fr.
3) Emaranhamento Quântico
Bibliografia: (1) A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen, Can Quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?, Physical Review, 47, 777-80 (1935); (2) A. Zeilinger, Quantum Entangled bits step closer to it, Science 289, 405-406 (2000); (3) G. Auretta, M. Fortunato, G. Parisi, Quantum Mechanics (Cambridge University Press), Cap. 16 and 17.
4) Propriedades Analíticas das Amplitudes de Espalhamento
Bibliografia: (1) J. Taylor, Scattering Theory: The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, Dover (2000), caps 12, 13 e 20; (2) Landau e Lifshitz, Mecânica Quântica (teoria não-relativística), vol 3., Cap. XVII e XVIII.
5) Efeito Casimir
Bibliografia: (1) M.D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard ModelCap. 15; (2) M. Bordag, U. Mohidee, V. M. Mostepanenko, New Developments in the Casimir Effect, Phys. Rept. 353 (2001); (3)S.K. Lamoreaux, Phys. Rev. Lett. 78, 5 (1997)
6) Efeito Migdal
Bibliografia: (1) A. B. Migdal, J. Phys. USSR 4 (1941) 449; (2) G. Baur, F. Rosel and D. Trautmann, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 16 (1983) L419.; (3) A. B. Migdal, Qualitative Methods in Quantum Mechanics 1977 (Reading, Mass: Benjamin) p. 108; (4) L. D. Landau and E. M. Lifshits Quantum Mechanics, Non- Relativistic Theory 1977 (Pergamon press), 3rd Ed., p. 149. Veja também: G. Baur, F. Rosel, and D. Trautmann, Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics 16, L419 (1983); R. Bernabei et al., Int. J. Mod. Phys. A22, 3155 (2007), arXiv:0706.1421 [astro-ph] e Masahiro Ibe, Wakutaka Nakano, Yutaro Shoji & Kazumine Suzuki , JHEP vol. 2018, 194 (2018),https://arxiv.org/pdf/1707.07258.pdf.
7) Efeito Mossbauer
Bibliografia: (1) R. L. Mössbauer, Z. Physik 151, 124 (1958);R. L. Mössbauer, Naturwiss. 45, 538 (1958);(2) R. L. Mössbauer, (3) D. H. Sharp, Rev. Mod. Phys. 36, 410 (1964); Veja também: Craig, P.; Dash, J.; McGuire, A.; Nagle, D.; Reiswig, R. (1959). "Nuclear Resonance Absorption of Gamma Rays in Ir191". Physical Review Letters. 3 (5): 221;G. Vandergrift, B. Fultz (1998). "The Mössbauer effect explained". American Journal of Physics. 66 (7): 593–596.
8) Mecânica Quântica Supersimétrica
Bibliografia: (1) Constantin Rasinariu Asim Gangopadhyaya, Jeffry V Mallow. SuperSymmetric Quan- tum Mechanics. World Scientific, 2011; (2) Fred Cooper, Avinash Khare, and Uday Sukhatme. Supersymmetry and quantum mechanics. Phys.Rept., 251:267–385, 1995; (3)Philip C. Argyres em https://homepages.uc.edu/~argyrepc/cu661-gr-SUSY/susy2001.pdf
9) Interpretações da Mecânica Quântica
Bibliografia: (1) Kurt Gottfried e Tung-Mow Yan, Quantum Mechanics: Fundamentals, cap. 12, Springer (2004); (2) J. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press (1994); (3) A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer (1995); (4) F. Laloe, Am. J. Phys. 69, 655 (2001)
10) Pares de Cooper
Bibliografia: (1) L.N. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 (1956); (2) G. Baym, Lectures on Quantum Mechanics, cap. 8.
11) Computação Quântica
Bibliografia: (1) D. Deutsch e A. Ekert,Quantum computation, Physics World, 47-51 (1998); (2) M. A. Nielsen e I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press (2000), (3) G. Auretta, M. Fortunato, G. Parisi, Quantum Mechanics (Cambridge University Press), Cap. 17.
12) Instantons, Tunelamento e Estados MetaestáveisBibliografia: (1) Jean Zinn-Justin, Integrale de Chemin en Méchanic Quantic: Introduction, CNRS Editions, cap.8; (2) Veja: http://landau.gitlab.io/qm/spring16/seminar-6-tunnelirovaniye-i-instantony-v-kvantovoy-mekhanike/zinn-justin.pdf; (3)S. Coleman, “The uses of instantons,” Proc. of the 1977 School of Subnuclear Physics (1977) ; (4) H. Forkel, “A primer on instantons in QCD, v2,” arXiv:hep-ph/0009136v2 (2002); (4) L.S. Shulman, Techniques and Applications of Path Integrals, Dover (2005) Cap. 29
13) Efeito Hall Quântico Inteiro
Bibliografia: (1) K. V. Klitzing, Phys. Rev. Lett. 122, 200001 (2019); (2) K. V. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980); (3) M. O. Goerbig, Quantum Hall Effects, arXiv:0909.1998;(4) David Tong, Lectures on the Quantum Hall Effect, arXiv:1606.06687 [hep-th];(5) Steven M. Girvin, The Quantum Hall Effect: Novel Excitations and Broken Symmetries, arXiv:cond-mat/9907002.
Assista as Aulas Online
As aulas serão transmitidas online e gravadas. Assista a aula clicando no link abaixo
Notas de Aula
Aqui você encontrará as notas de aula de Mecânica Quântica II, aula por aula, para auxiliá-lo a acompanhar as aulas online.
- Aula 4 - 24/08/2020 Arquivo Carregado 24/08/2020 15:51
Videos das Aulas
Aqui você encontrará os videos das aulas gravadas.
Nessa aula do dia 17 de agosto de 2020 discutimos o teorema de Wigner que determina que os operadores de simetria na Mecânica Quântico só podem ser unitários ou antiunitários. Apresentamos o operador de reversão temporal, o único caso conhecido de operador antiunitário que aparece na Física. Mostramos as propriedades desse operador e construímos explicitamente a forma do operador de reversão temporal para sistemas de spin 0 e spin 1/2.
Nessa aula do dia 19 de agosto de 2020 discutimos o grupo de rotação, a relação de SO(3) e SU(2) e construimos as representações irredutíveis de SU(2) de forma explicita a partir de D(R) para j=1/2. Discutimos o caso da representação em termos dos parâmetros de Cayley-Klein e em termos dos ângulos de Euler.
Nessa aula do dia 20 de agosto de 2020 discutimos algumas consequências da invariância por rotação. Mostramos como construir autoestados de momento angular total para partículas livres com momento linear e spin bem definidos. Discutimos como são as distribuições angulares em decaimentos produzidos por interações invariantes por rotação. Finalmente, tratamos o problema do "corpo rígido" do ponto de vista de rotações.
Nessa aula do dia 24 de agosto de 2020 estendemos a noção de operadores escalares e vetoriais para operadores tensoriais de ordem k. Nosso objetivo é chegar no Teorema de Wigner-Eckart. Já encontramos antes casos especiais desse teorema, ara operadores escalares e vetoriais. O teorema de Wigner-Eckart diz respeito a elementos de matriz que aparecem frequentemente em problemas quânticos, especialmente envolvendo teoria de perturbação e emissão e absorção de radiação.
Nessa aula do dia 26 de agosto de 2020 discutimos os grupos de Lorentz e Poincaré, sua propriedades gerais e suas representações irredutíveis de representação finita (não unitárias) e de representação infinita (unitárias). A compreensão básica desses grupos será importante mais adiante quando passarmos da Mecânica Quântica não relativística para a relativística.
Nessa aula do dia 31 de agosto de 2020 começamos a discutir a teoria de espalhamento, tratando o espalhamento elástico. Definimos o problema, encontramos a equação de Lipmann-Shwinger e sua solução formal em termos de uma equação integral. Definimos o que é o operador T, a amplitude de espalhamento, a seção de choque diferencial e a série de Born.
Nessa aula de 2 de setembro de 2020 discutimos a validade da aproximação de Born para o cálculo da amplitude de espalhamento elástico e assim como as consequências da invariância por rotação, paridade e reversão temporal para a amplitude de espalhamento. Discutimos também o formalismo de ondas parciais, que se aplica no caso de potenciais invariantes por rotação, e que é especialmente útil para espalhamentos à baixa energia.
Nessa aula do dia 9 de setembro de 2020 começamos a discutir teoria formal de espalhamento dependente do tempo. Introduzimos a matriz S, a matrix T e encontramos a relação entre esses operadores. Mostramos também a relação entre a matrix S e o operador de evolução temporal.
Nessa aula do dia 14 de setembro de 20 20 discutimos o final do formalismo da teoria de espalhamento geral, fazendo a conexão entre os elementos de matriz S e probabilidades de transição e taxas de transição. Para deixar o uso do formalismo mais claro terminamos a aula com um exemplo de espalhamento projétil átomo.
Nessa aula do dia 16 de setembro de 2020 discutimos como incluir partículas com spin no cálculo das seções de choque de espalhamento usando o formalismo de matriz densidade. Exemplificamos com um exemplo simples: uma partícula de spin 1/2 colidindo com um alvo de spin 0 admitindo que o feixe inicial esteja ou não esteja polarizado.
Nessa aula do dia 21 de setembro de 2020 discutimos a relação entre os polos nas amplitudes de espalhamento, ou dos elementos de matrix S, e os estados ligados (para o caso Im k>0) . Mostramos também que se for possível fazer um prolongamento analítico para Im k<0, podem aparecer pólos não físicos na matrix S que estão relacionados as chamadas ressonâncias.
Nessa aula do dia 23 de setembro de 2020 discutimos um modelo simples que possui um canal de espalhamento elástico e um canal de espalhamento inelástico passando por um estado intermediário no canal s. Calculamos nesse modelo os elementos de matrix S, as amplitudes de transição e as seções de choque elástica e inelástica, mostrando em que condições podemos obter o comportamento de uma Breit-Wigner.
Nessa aula do dia 28 de setembro de 2020 discutimos a equação de Klein-Gordon e a equação de Dirac, as duas primeiras tentativas de encontrar uma equação de onda relativística. Hoje sabemos que ambas equações são válidas, uma para descrever partículas de spin 0 e a outra para partículas de spin 1/2, no contexto de Teoria Quântica de Campos.
Nessa aula do dia 30 de setembro de 2020 continuamos a discussão sobre a equação de Dirac. Mostramos explicitamente a covariância dessa equação face a transformações de Lorentz entre referenciais inerciais. Discutimos o limite não-relativístico dessa equação quando acoplada ao campo eletromagnético via acoplamento mínimo. Contruímos explicitamente a transformação de Lorentz na representação espinorial e estabelecemos suas propriedades.
Nessa aula do dia 5 de outubro de 2020 discutimos as soluções de partícula livre da equação de Dirac, vemos que há soluções de energia positiva e soluções de energia negativa. Discutimos essas soluções para o caso de partículas com e sem massa e sua relação com autoestados de helicidade e quiralidade.
Nessa aula do dia 7 de outubro de 2020 deduzimos o espectro de energia dos átomos hidrogenóides usando o Hamiltoniano de Dirac com a adição do potencial de Coulomb. Mostramos que obtemos as energias dependentes de n (número quântico principal e momento angular total j), exatamente igual ao que obtivemos em MQ I quando introduzimos o spin à mão. Discutimos também o paradoxo de Klein e outras inconsistências na interpretação do Ψ da equação de Dirac como uma função de onda.
Nessa aula do dia 14 de outubro de 2020 introduzimos algumas ideias básicas do formalismo dito de segunda quantização. Apresentamos o espaço de Fock e os operadores de criação e aniquilação e suas regras de comutação (anticomutação) para bósons (férmions). Introduzimos a idéia de operadores de campo e suas regras de comutação (anticomutação) para bósons (férmions).
Nessa aula do dia 19 de outubro de 2020 usamos os operadores de campo introduzidos na aula passada para construir uma base conveniente para o estados do espaço de Fock. Expandimos um estado de N-partículas arbitrário nessa base e mostramos que as funções coeficientes que aparecem nessa expansão são as funções de onda automaticamente simetrizadas (ou antisimetrizadas) para bósons (fermions). Discutimos como expressar os operadores que aparecem na Mecânica Quântica em termos dos operadores de campo, ou seja, na linguagem da segunda quantização.
Nessa aula do dia 21 de outubro de 2020 discutimos a evolução temporal dos operadores de campo em segunda quantização e a equação não-linear que eles devem obedecer. Examinamos o exemplo de um gás de férmions não-interagentes calculamos as funções de correlação de partícula única e de pares de partículas no estado fundamental do gás.
Nessa aula do dia 26 de outubro de 2020 introduzimos a distribuição de Wigner para um sistema de N-partículas e definimos as matrizes de distribuição da partículas que tem relação direta com essa distribuição. Recordamos os aspectos fundamentais relacionados à mecânica estatística no ensemble gran canônico que permite que façamos a descrição de um sistema de muitos fermions ou bósons à temperatura finita, finalmente podendo fazer a relação das matrizes de distribuição nesse contexto com as funções de correlação que discutimos na aula 19.
Nessa aula do dia 4 de novembro de 2020 discutimos a quantização do campo eletromagnético na ausência de fontes (cargas e correntes). Desenvolvemos o formalismo no gauge de Coulomb onde fica explícito os graus de liberdade físicos do fóton (as duas polarizações independentes).
Nessa aula do dia 5 de novembro de 2020 discutimos a interpretação dos resultados da aula passada em termos da linguagem de segunda quantização. Introduzimos a noção de fótons como os estados criados/destruídos pelos operadores de campo. Calculamos as relações de comutação entre as componentes do campo elétricos, magnéticos e elétricos e magnéticos. Mostramos que as flutuações do vácuo não são nulas para os campos elétricos e magnéticos. Finalmente comentamos sobre a quantização do eletromagnetismo no gauge de Lorenz.
Nessa aula do dia 9 de novembro de 2020 discutimos a interação do campo eletromagnético quantizado com sistemas atômicos. Encontramos a taxa de transição para emissão espontânea e estimulada assim como a taxa de absorção de luz por um átomo. Discutimos as regras de seleção de momento angular e paridade para essas transições.
Nessa aula do dis 11 de novembro de 2020 estudamos o espalhamento da luz por sistemas físicos que podem ser tratados como não relativísticos. Discutimos a fórmula de Kramers-Heisenberg e sua aplicação para os espalhamentos elásticos Thomson e Rayleigh e para o espalhamento inelástico Raman. Descrevemos também como tratar o caso de fluorescência ressonante cuja secão de choque não pode ser obtida de forma perturbativa.
Na aula do dia 16 de novembro de 2020 discutimos vários estados especiais do campo eletromagnético: estados do espaço de Fock (número de ocupação), estados coerentes e estados comprimidos. Discutimos também o que é uma medida homodina e como poder ser usada para determinar as quadraturas do campo.
Nessa aula do dia 18 de novembro de 2020 discutimos o modelo de Jaynes-Cummings para um estado atômico de dois níveis acoplado a um modo específico fo campo eletromagnético quantizado.Calculamos as oscilações de Rabi do vácuo e mostramos que se acoplamos o átomo com um modo do campo preparado como um estado coerente observamos o efeito de colapso e ressurgimento das transições entre estados fundamental e excitado do sistema atômico.