Sobre a simulação do movimento das partículas.
ALGUMS DETALHES SOBRE A "TEORIA" POR TRÁS DA PLANILHA EXCEL PARA O CÁLCULO DA TRAJETÓRIA
Devido à linearidade do eletromagnetismo no vácuo, é possível dizer que a "forma" do campo depende da geometria do sistema, enquanto a intensidade depende só da tensão aplicada entres as placas (campo elétrico) ou da corrente nas bobinas (campo magnético). Ou seja, é possível a seguinte parametrização:
\( E(x) = \alpha(x) V_{P}\)
\(B(x) = \beta(x) i\)
Podemos escrever que a força sobre uma partícula vale, em uma dada posição:
\(\vec{F} = q(\vec{E} +\vec{v}\times\vec{B}) \)
Tomando que os campos elétrico e magnético são, respectivamente, \(\vec{E} = E\vec{k}\) e \(\vec{B}=-B\vec{j}\), podemos escrever que a força resultante é:
\(\vec{F} = q(Bv_{z}\vec{i} +(E-Bv_{x})\vec{k}) \)
Ou seja, temos duas componentes. Na medida em que a velocidade em z aumenta, por conta da deflexão pelos campos, a velocidade em x também se altera, mesmo que pouco. Isto porque o produto vetorial da velocidade pelo campo magnético faz com que a força magnética seja central, gerando um movimento circular.
A aceleração, em cada ponto, pode ser obtida a partir da segunda Lei de Newton, \(F = ma\). Calcular a trajetória de uma partícula, nestas condições é muito simples e pode ser feita utilizando uma planilha eletrônica. Se discretizarmos a trajetória da partícula em pequenos intervalos \(\Delta x\), de modo que possamos assumir que a força é constante naquele intervalo, podemos dizer que o movimento é uniformemente acelerado neste intervalo. A aceleração sofrida pela partícula em um intervalo \(\nu\) tem duas componentes, que valem:
\(a_{x,\nu} = \frac{q}{m}\left( B_{\nu}v_{z,\nu-1} \right) \)
\(a_{z,\nu} = \frac{q}{m}\left(E_{\nu}-B_{\nu}v_{x,\nu-1} \right) \)
O intervalo de tempo que a partícula leva para percorrer a distância \(\Delta x\) em um intervalo \(\nu\) é:
\(\Delta t_{\nu} = \frac{\Delta x}{\lt v_{x,\nu}\gt} = \frac{2\Delta x}{v_{x,\nu-1}+v_{x,\nu}} \)
Para calcular \(\Delta t_{\nu} \) precisamos da velocidade final em \(x\) no intervalo \(\nu\), que pode ser calculada como:
\(v_{x,\nu} = \sqrt{v_{x,\nu-1}^{2}+2a_{x,\nu}\Delta x} \)
Isto porque no nosso problema estamos supondo que, no intervalo \(\nu\) o movimento é uniformemente acelerado. A velocidade final no intervalo \(\nu\) em \(z\) pode ser calculada como:
\(v_{y,\nu} = v_{y,\nu-1}+a_{y,\nu}\Delta t_{\nu} \)
E a posição na direção \(z\) da partícula ao final do intervalo \(\nu\) é dada por:
\(z_{\nu} = z_{\nu-1} + v_{z,\nu-1}\Delta t_{\nu} + \frac{1}{2}a_{z,\nu}\Delta t_{\nu}^2 \)
Este procedimento é feito continuamente para cada intervalo \(\nu\) e, com base nisto, calculamos a trajetória da partícula \((x,z)\) dentro do TRC. Esta planilha contém o problema equacionado. Basta substituir os valores obtidos pelo seu grupo para \(\alpha(x)\) e \(\beta(x)\), colocar a tensão entre as placas, corrente nas bobinas e tensão de aceleração, que você calcula a trajetória da partícula. Estude esta planilha com carinho. Este tipo de procedimento pode ser valioso em várias situações.