Solução:

\(\begin{align*} X(j\omega) &= \int_{-1/4}^{1/4}\cos(2\pi t) e^{-j\Omega t}dt = \frac{1}{2}\int_{-1/4}^{1/4}e^{j2\pi t} e^{-j\Omega t} dt + \frac{1}{2}\int_{-1/4}^{1/4}e^{-j2\pi t} e^{-j\Omega t}dt\\&=\left.\frac{1}{2j(2\pi-\Omega)}e^{j(2\pi-\Omega)t}\right|_{-1/4}^{1/4} =\frac{\sen\left(\pi/2-\Omega/4\right)}{2\pi-\Omega}+\frac{\sen\left(\pi/2+\Omega/4\right)}{2\pi+\Omega}\\&=\frac{1}{4}\sinc\left(\frac{1}{2}-\frac{\Omega}{2\pi}\right)+\frac{1}{4}\sinc\left(\frac{1}{2}+\frac{\Omega}{2\pi}\right)\\&=\frac{1}{4}\sinc\left(\frac{1}{2}-\frac{\Omega}{2\pi}\right)+\frac{1}{4}\sinc\left(\frac{1}{2}+\frac{\Omega}{2\pi}\right)\end{align*}\)

Em termos de \(f=\Omega/2\pi\), temos \( X(2\pi f) = \frac{1}{4}\sinc\left(\frac{f-1}{2}\right)+ \frac{1}{4}\sinc\left(\frac{f+1}{2}\right) \)

f = range(-25, 25, length = 500)
X = 0.5sinc.((f.-1)/2) + 0.5sinc.((f.+1)/2)
X1 = 0.5sinc.((f.-1)/2)
X2 = 0.5sinc.((f.+1)/2)
plot(f, X, label = L"X(j2\pi f)", ylabel = L"$f$ (Hz)",
     xlabel = L"f", linewidth = 3)
plot!(f, X1, label = L"0.5sinc.((f.-1)/2)" )
plot!(f, X2, label = L"0.5sinc.((f.+1)/2)")

Solução:

t = range(-4, 4, length = 500)
T0 = 1
x = t -> abs(t) <= T/2 ? cos(2π*t) : 0.0
function ỹ(t, x, T0)
    y = zeros(length(t))
    for i in eachindex(t)
        tmod = t[i] - sign(t[i])*round(abs(t[i])/T0)*T0
        y[i] = x(tmod)
    end
    return y
end
plot(t, ỹ(t, x, T0), xlabel = L"t", label = L"\tilde{y}(t)", title = L"$\tilde{y}(t)$ para o caso de $T_0$="*"$T0")

Solução:

Veja que \(y_k = \frac{1}{T_0}\int_{T_0} \tilde{y}(t)e^{-j k\Omega_0 t}dt\), com \(\Omega_0 = 2\pi/T_0\). Comparando com \(X(j\Omega)\), vemos que \(y_k = X(jk\Omega_0)=X(j2\pi kf_0)\), e portanto, \( y_k = \frac{1}{2}\sinc\left(\frac{kf_0-1}{2}\right)+ \frac{1}{2}\sinc\left(\frac{kf_0+1}{2}\right) \)

k = -10:10
f0 = 1/T0
yk = T*sinc.((k*f0 .- 1)/2) + T*sinc.((k*f0 .+ 1)/2)
plot(k, yk, line = :stem, marker = (:circle, 2),
        label = L"y_k", xlabel = L"k")

Solução:

Como \(y_k\) é diferente de zero para um número infinito de valores de \(k\), não é possível amostrar \(\tilde{y}(t)\) sem rebatimento. No entanto, podemos ver pelos gráficos que os valores de \(|y_k|\) decaem para zero relativamente rápido, portanto é possível escolher uma taxa de amostragem alta o suficiente de maneira que o erro causado pela amostragem seja pequeno. Neste caso é melhor usar um filtro anti-rebatimento (cortando frequências acima de \(f_a/2\)) para reduzir distorções.

Solução:

Para a sequência ser periódica, \(z = f_a/f_0\) deve ser um número racional. Vejamos:

Solução:

Os coeficientes da série de Fourier neste caso são obtidos notando que em um período do sinal discreto temos \(Q\) períodos do sinal de tempo contínuo. Portanto,

display(mkdn("``Q = $Q``"))
xk = OffsetArray(zeros(6*Q+1, 2), -3Q:3Q, 1:2)
xk[-3Q:Q:3Q,:] = [5 60;0 0; 1 -30; 0 0; 1 30; 0 0; 5 -60]
dx = DataFrame()
dx[!, :k] = -3Q:Q:3Q
dx[!, "Módulo"] = xk[-3Q:Q:3Q, 1]
dx[!, "Fase"] = xk[-3Q:Q:3Q, 2]
display(mkdn("``x_k``:"))
dx

Solução:

    f0 = 1e9
    c = 3e8
    λ = c/f0
    d = λ/2

0.15

Solução:

    θ0 = 5
    θ1 = 35
    θ2 = -45
    u = d * sind(θ0) / c
    M = 4
    τ0 = 2π*f0 * (0:M-1) * u
    w = (1/M)*exp.(im*τ0)

4-element Vector{ComplexF64}:
                0.25 + 0.0im
  0.2406870601800214 + 0.06759984513220992im
  0.2134420875048099 + 0.13016326394797068im
 0.17029492830173515 + 0.18302906161237587im

Para achar os ganhos nas outras direções, podemos usar a expressão (válida para \(d = \lambda/2\)) \( B(\theta, \theta_0) = \frac{1}{M}e^{j\pi\frac{M-1}{2}(\sen(\theta)-\sen(\theta_0))} \frac{\sen\left(\pi M \frac{\sen(\theta)-\sen(\theta_0)}{2}\right)}{\sen\left(\pi \frac{\sen(\theta)-\sen(\theta_0)}{2}\right)}\)

B = (θ,θ0, M) -> (1/M) * exp(im * π * (M-1) * (sind(θ)-sind(θ0))/2) * sin(π * M * (sind(θ)-sind(θ0))/2) / sin(π * (sind(θ)-sind(θ0))/2)
B1 = B(θ1,θ0, M)
B2 = B(θ2,θ0, M)
absB1 = round(abs(B1), digits = 4)
absB2 = round(abs(B2), digits = 4)
fB1 = round(angle(B1)*180/π, digits = 1)
fB2 = round(angle(B2)*180/π, digits = 1)
display(mkdn("O ganho na direção ``\\theta_1`` é $(round(B1, digits=4)), isto é,  $absB1 ``e^{$fB1\\degree j}``."))
display(mkdn("O ganho na direção ``\\theta_2`` é $(round(B2, digits = 4)), isto é, $absB2 ``e^{$fB2\\degree j}``."))

Solução:

    P0 = 2
    P1 = 3
    P2 = 5
    SIRentr = P0 / (P1 + P2)
    println("Relação Sinal/Interferência na entrada: ", rd(SIRentr))

Relação Sinal/Interferência na entrada: 0.25

    P0s = 2 * 1^2
    P1s = 3 * absB1^2
    P2s = 5 * absB2^2
    SIRs = P0s / (P1s + P2s)
    println("Relação Sinal/Interferência na saída: ", rd(SIRs))

Relação Sinal/Interferência na saída: 6.17