Medidas que expressam a natureza de certas variáveis aleatórias

Todos os dados que exploramos até agora expressam os valores observados de alguma variável ou parâmetro extraído de uma população. Mesmo nas séries climáticas, as temperaturas, precipitação etc. são variáveis extraídas de uma população de possíveis intervalos de tempo (dias, por exemplo) num determinado local (estação meteorológica da ESALQ). Vimos o caráter aleatório desses parâmetros, ou seja, vimos que a ocorrência de um certo valor para um certo parâmetro não pode ser determinado com exatidão. Esses valores simplesmente variam, sendo impossível prever o seu exato valor!

Por variarem, nos referimos a esses parâmetros como aleatórios ou estocásticos. Conhecer todos os valores possíveis de um parâmetro que caracteriza uma população exigiria conhecer a população inteira. Isso, entretanto, é geralmente impossível (quando infinita, por exemplo) ou muito difícil de ser obtida (como o peso de todos os habitantes vivos do planeta num determinado instante). Todavia, medições amostrais podem ser realizadas para que possamos descrever o comportamento desses parâmetros da população.

A partir de agora faremos uma distinção entre parâmetros, como medidas descritivas de uma população, e estatísticas, que são medições descritivas extraídas de uma ou mais amostras. Essa distinção é necessária para que possamos lidar com os casos em que não é possível calcular diretamente o valor dos parâmetros de uma população, mas podemos calcular as correspondentes estatísticas para amostras retiradas dessa população e, a partir dessas estatísticas, fazer inferências sobre os respectivos parâmetros da população.

Primeiramente, iremos recorrer a medidas de posição (ou tendência central) e de variabilidade. As medidas de tendência central exploram como se concentram as distribuições de frequências dos dados. As de variabilidade descrevem como os dados variam em torno do centro da distribuição.

Medidas de tendência central

Moda

• é o valor mais frequente ou provável em um conjunto de observações (podem existir uma ou mais modas no conjunto de observações)
• não é afetada pela existência de observações extremas (valores muito acima ou abaixo dos mais observados no conjunto de dados)
• as modas observadas em subgrupos do conjunto completo de observações não mantém relação com a moda do conjunto completo
• o valor da moda pode variar para diferentes agrupamentos do conjunto de observações
• pode ser definida tanto para dados quantitativos como qualitativos

Mediana

• uma vez ordenadas, é o valor central das observações que permite distribuir 50% das observações acima e as demais 50% abaixo desse valor
• existe apenas uma mediana para cada conjunto de observações
• não é afetada pela existência de observações extremas (valores muito acima ou abaixo dos mais observados no conjunto de dados)
• as medianas observadas em subgrupos do conjunto completo de observações não mantém relação com a mediana desse conjunto completo para diferentes agrupamentos dos dados
• o seu valor se mantém razoavelmente estável
• só se aplica para conjuntos de observações quantitativas

Média

• é calculada como a média aritmética dos valores em um grupo de observações
• existe apenas uma média para cada grupo de observações
• seu valor é afetado pela existência de observações extremas (valores muito acima ou abaixo dos mais observados)
• as médias de subgrupos do conjunto completo de observações podem ser combinadas para gerar a média do conjunto completo
• só se aplica para conjuntos de observações quantitativas

Medidas de dispersão

Desvio Padrão

• dá uma idéia do desvio médio absoluto com relação à média de um conjunto de observações (amostra)

Variância

• é o quadrado do desvio padrão

Coeficiente de Variação

• mede a dispersão relativa amostral, e é resultado de dividir o desvio padrão pela média da amostra [Desvio Padrão/Média * 100]
• dá uma idéia do desvio médio relativo com relação à média de um conjunto de observações (amostra)

Nota importante

Desvio padrão e erro padrão não são a mesma coisa. Vamos entender a diferença.

O desvio padrão é uma medida de precisão da média amostral. Ou seja, é uma medida que indica a dispersão dos dados dentro de uma amostra com relação à média da amostra. Assim sendo, quando menor o valor do desvio padrão, mais homogênea é a amostra.

Já o erro padrão é uma medida de variação de uma média amostral em relação à média da população. Para se chegar a uma estimativa do erro padrão, basta dividir o desvio padrão pela raiz quadrada do tamanho amostral.

Para que serve o erro padrão?

Através do erro padrão, pode-se estimar um intervalo de confiança para a média populacional a partir da média amostral calculada. Assim sendo, se estabelecermos, por exemplo, um nível de significância de 5%, é possível construir um intervalo de confiança que terá 95% de probabilidade de conter a média real da população.

Estude o caso ilustrado no quadro abaixo que analisa o volume observado nas embalagens de uma certa marca de suco de laranja.

Para cálculo do intervalo de confiança o erro padrão é multiplicado pelo percentil associado ao nível de significância observado em uma distribuição normal padrão, ou seja, que apresenta média 0 e desvio-padrão igual a 1.

Para o nível de significância de 5%, esse valor é de 1,96. Portanto, podemos concluir para o exemplo que existe a probabilidade de 95% do intervalo de 467,4 a 532,6 mililitros (500 ± 1,96 * 16,7) conter a média do verdadeiro volume das garrafas de suco de laranja.

Da mesma forma, pode afirmar que o intervalo entre 496,3 e 503,7 ml (500 ± 1,96 * 1,9) tem probabilidade de 95% de conter o volume médio de suco de laranja em todas as garrafas produzidas pelo fabricante.

A diferença entre desvio padrão e erro padrão

É muito frequente a confusão entre os conceitos de erro padrão e desvio padrão. Apesar de ambos tratarem da variação da média, são conceitos bem diferentes entre si.  O desvio padrão é um índice de dispersão da amostra em relação à média, enquanto o erro padrão é uma medida da confiabilidade da média calculada.

Medida de concentração

A Curva de Lorenz e o Índice de Gini

Considere p o valor da proporção acumulada da população até certo nível e φ o valor da correspondente proporção acumulada de uma variável dessa população (por exemplo: renda, escolaridade etc.). Os pares de valores (p, φ) para os diversos níveis, definem pontos num sistema de eixos cartesianos ortogonais que se unidos geram a curva de Lorenz ilustrada na figura abaixo:

A curva de Lorenz mostra como a proporção acumulada φ da variável da população varia em função da proporção acumulada (p) da população, com os indivíduos ordenados de acordo com valores crescentes da variável.  A área hachurada α, compreendida entre a curva de Lorenz e a bissetriz no gráfico acima, é denominada área de concentração.

Se imaginarmos uma perfeita distribuição da variável da população, por exemplo renda, onde todos recebem a mesma quantidade, teremos que cada proporção p da população recebe exatamente a mesma proporção  da variável, ou seja, φ = p. Nesse caso, a curva de Lorenz se reduz à própria bissetriz, que por isso se denomina “linha de perfeita igualdade”, e α = 0.

Vamos agora imaginar uma distribuição com máxima desigualdade, isto é, numa população com n indivíduos, apenas um deles detém toda a variável medida (por exemplo, renda) e os demais n-1 nada possuem. Nesse caso, é fácil verificar que α se torna igual a 0,5.

Por definição, o índice de Gini (G) é a razão entre a área de concentração α e o valor 0,5. É possível demonstrar que, para distribuições discretas, essa razão pode ser calculada através da seguinte expressão:

Concentração de terras no Brasil**

Situação cadastral em 02/12/92 (antes): índice de Gini = 0,848

Situação cadastral em 30/11/00 (depois)

** (consideram-se projetos de assentamento; banco da terra ; e xclusão de terras públicas, áreas canceladas por grilagem)

Fonte: Ministério do Desenvolvimento Agrário e Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária.

Apontamentos da Profa. Clarice Demétrio usados em disciplina de introdução à estatística

Acredito que este material suplementar, preparado com muito esmero pela Profa. Clarice e por monitores de um curso de introdução a estatística do Departamento de Matemática e Estatística da ESALQ, podem ser muito uteis para vocês. Escolham o tema e leiam os respectivos apontamentos. Estou certo de que vão gostar.

• População, amostra, variáveis, tipos de variáveis, combinações de variáveis (multidimensionais), representação tabular e gráfica
• Medidas de posição central, quartis e percentis, medidas de dispersão
• Probabilidade (aleatoriedade, espaço amostral e evento), definições e propriedades, definição e aplicação de probabilidade condicional e independência, definição e aplicação do Teorema de Bayes e das Leis de Mendel
• Definição e tipos de variáveis aleatórias (discretas e contínuas)
• Modelos de relação entre variável discreta e o experimento que a origina: distribuições Bernoulli, binomial, Poisson
• Modelos de relação entre variável contínua e o experimento que a origina: distribuições Normal, Exponencial, Weibull
• Inferência (população, unidade amostral, amostra, variável, parâmetro, estimador), viés, precisão; tipos de amostragem (aleatória simples, estratificada, por conglomerado, sistemática), tamanho da amostra
• Distribuições dos principais estimadores (estatística P, média), teorema do limite central, distribuição amostral da média
• Características da população com base na amostra e estimação de parâmetros, propriedades dos estimadores, estimativas pontuais e de intervalos, intervalos de confiança para média, população e proporção
• Testes de hipóteses, significância, estatística do teste, regras e nível descritivo; tipos de teste (proporção, média); para duas populações (comparação de variâncias, de médias, de aderência, de independência, etc.)
• Correlação e diagramas de dispersão, regressão linear, análise de variância, qualidade do ajuste