O que frequências e probabilidades têm em comum?

Ao desenvolvermos a “caixa de ferramentas” do gestor ambiental, começamos pela busca de métodos para a análise exploratória de dados. Vimos que tabelas e histogramas de frequência revelam importantes aspectos de um conjunto de dados. As tabelas ou histogramas de frequência expressam a distribuição de uma determinada variável ou atributos de uma população. Assim, para uma série histórica de dados climatológicos da cidade de Piracicaba, vimos como os dias se apresentaram distribuídos entre classes de velocidade máxima de ventos, de temperatura, de umidade relativa e de precipitação.

Ao explorarmos a frequência dessas variáveis, categóricas ou numéricas, observamos, por exemplo, que era possível inferir sobre o intervalo de possíveis valores (mínimo e máximo), e que essas frequências pareciam expressar um certo padrão em termos de distribuição. Quando a quantidade de observações é suficientemente grande, podemos perceber que os valores da variável explorada refletem frequências distribuídas segundo um certo padrão. Alguns desses padrões são tão comuns e previsíveis, que a estatística criou modelos matemáticos para expressá-los. Esses modelos são conhecidos como funções de distribuição probabilística e descrevem a probabilidade (frequência) com que certos valores ou intervalos de valores podem acontecer. Vamos conhecer melhor essas funções.
    

Introdução à distribuição de probabilidades

Já que assimilamos o sentido de frequência de ocorrências (representadas através de tabelas e histogramas), podemos aplica-lo a valores de variáveis estocásticas (ou seja, variáveis que apresentam comportamento aleatório).  Quando o número de observações é suficientemente grande, podemos usar essas frequências para inferirmos sobre o tipo de distribuição de probabilidades que a variável apresenta.

Em estatística, uma distribuição de probabilidade descreve a chance de uma determinada variável assumir um determinado valor ao longo de um espaço de valores. A distribuição de probabilidade é uma função, com os valores da variável formando o conjunto domínio e as probabilidades da variável para cada valor do domínio formando o conjunto imagem.  O conjunto imagem de valores dessa função se restringe ao intervalo entre 0 e 1. 

Distribuições de probabilidade podem ser expressas para domínios com valores:

• discretos (variáveis qualitativas, ordinais ou nominais). Exemplo: jogo de dados (domínio é formado pelo conjunto finito de valores {1,2,3,4,5,6} e a imagem é a probabilidade de sair um desses valores), ou 
• contínuos (variáveis podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo). Exemplo: altura de pessoa (domínio é o infinito conjunto de valores num intervalo razoável de alturas, e imagem é a probabilidade de ocorrer um desses valores)

Para cada variável aleatória discreta ou contínua x corresponde uma função densidade de probabilidade (fdp) que lhe atribui uma medida de probabilidade. A probabilidade de acontecer todo o espaço possível de valores é 1 e a função cumulativa de probabilidades (fcp) P{x ≤ X} pode ser definida como:

\(P(X) = \sum_{x=a}^{X} p(x)\) se discreta,

\(F(X) = \int_{a}^{X} f(x) dx\) se contínua.

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Distribuição de probabilidades para variáveis discretas

A probabilidade da variável aleatória X assumir um certo valor x é P(X=x). A soma de todas as possibilidades previstas para x tem valor 1 (100%). As funções de distribuição de probabilidade para variáveis discretas com aplicações interessantes na área de gestão são: Binomial, Poisson e Exponencial Negativa.

Distribuição Binomial

Propriedades:

• As observações são obtidas em n ensaios (ocorrências) idênticos
  
• Em cada ensaio observa-se apenas um dentre dois possíveis valores (sucesso / falha)
  
• A probabilidade de sucesso em cada ensaio é p, e p permanece o mesmo entre ensaios
  
• Os ensaios são independentes, ou seja, o resultado de um ensaio não afeta nenhum outro ensaio
  
• A variável randômica (ou estocástica) x é o número de sucessos observados em n ensaios
  

Exemplos de distribuição Binomial:

Muitas ‘populações’ de 0s e 1s são de interesse para engenheiros, cientistas e empresários:

• A resposta à pergunta “Você é a favor do desenvolvimento da energia nuclear, sim ou não?”
  
• Experimentação para determinar o efeito de uma nova droga em cobaias
  
• Processos de monitoramento da qualidade, para determinar a fração da produção com ou sem defeitos

Função densidade de probabilidade:

Um processo produz lotes com n itens. A fração p com itens defeituosos por lote é estimada a partir de dados históricos. A questão é determinar a função densidade de probabilidade (fdp) do número de defeitos por lote.  Quantas combinações diferentes são possíveis ao considerar a existência de x defeitos por lote de n itens?

\(\dbinom{n}{x} = \frac {n!}{x!(n-x)!}\)

A probabilidade de obter cada uma dessas combinações é p^x (1-p)^n-x. Pela lei da adição de probabilidades, deduz-se que:

\(P(x=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) para k = 1, 2, ..., n

Essa é a distribuição binomial com parâmetros n e p. A média e variância são: E{x} = n p; e var {x} = n p (1-p)

Distribuição Poisson

Sugerida em 1837 por S. D. Poisson, esta distribuição tem as seguintes propriedades:

• Os eventos acontecem um de cada vez, ou seja, dois ou mais eventos não acontecem precisamente no mesmo momento e local (ou espaço)
  
• A ocorrência de um evento em um certo tempo, região ou espaço é independente da ocorrência do evento em uma sobreposição desse período, região ou espaço
  
• O número esperado de eventos em um período ou região λ é o mesmo que aquele esperado para qualquer outro período ou região
  

Exemplos de distribuição Poisson

Esta é uma distribuição que caracteriza bem processos que formam filas, onde o comprimento da fila depende do número de chegadas

• em um balcão de atendimento (bancos, serviços públicos, posto de saúde etc.)
  
• em um caixa de pedágio ou estacionamento
  
• em um posto de inspeção
  

Função densidade de probabilidade

Clientes chegam de forma totalmente ao acaso (randomicamente), ou seja, é impossível prever quando alguém chegará. A fdp que descreve o número desse tipo de evento (chegadas) durante um período de tempo segue a distribuição Poisson. Seja x o número de eventos (p.ex.: chegadas) num determinado período de tempo (p.ex.: minuto ou hora), a fdp Poisson será definida da seguinte forma:

\( P(x=k)= \frac {\lambda ^k}{k!} e^{-\lambda } \qquad k=1,2,...,n\)

sendo a média e a variância definidas da seguinte forma:

E{x} = λ

var {x} = λ

Intuitivamente, E{x} = λ deve representar o número médio de eventos que ocorrem por unidade de tempo. Essencialmente, o parâmetro λ é definido como uma taxa (número por unidade de tempo) à qual o evento ocorre. Esta distribuição é fundamental para a teoria de filas.

Distribuição Exponencial Negativa

Se o número de chegadas a um centro de serviços durante um período específico ocorre de acordo com a distribuição Poisson, então, automaticamente, a distribuição dos intervalos entre chegadas sucessivas segue uma distribuição exponencial negativa (ou, simplesmente, exponencial). Especificamente, se λ é a taxa à qual o evento com distribuição Poisson ocorre, então a distribuição do tempo, x, entre chegadas sucessivas é dado por:

\(f(x) = \lambda e^{-\lambda x},  x > 0\)

A média e variância são:

\(E(x) = \frac {1}{\lambda}\)

\(var(x) = \frac {1}{\lambda ^{2} }\)

A média E{x} é consistente com a definição de λ. Se a taxa à qual o evento ocorre, então 1/λ é o intervalo médio entre eventos sucessivos.

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Distribuição de probabilidades para variáveis contínuas

Distribuições para intervalos de x limitados a valores entre A e B

• Distribuição Uniforme
  
• Distribuição Beta
  

para intervalos infinitos

• Cauchy
  
• Weibull
  
• Pareto
  
• Logística
  
• Log-normal
  
• Normal
  

e para intervalos semi-infinitos

• Distribuição Gama
  
• Chi-quadrado (caso especial da Gama)
  
• Exponencial (caso especial da Weibull)

A Distribuição Normal

A distribuição normal caracteriza muitos fenômenos aleatórios comuns. A função densidade de probabilidade (fdp), ou densidade de uma variável aleatória contínua, é uma função que descreve a probabilidade relativa de uma variável aleatória assumir um certo valor. A fdp da distribuição normal pode ser definida graficamente e matematicamente da seguinte forma:

 onde,

\(-\infty < x > \infty\)

\(E(x)=\mu\)

\(var(x)=\sigma^{2}\)

A notação N(μ, σ) é geralmente utilizada para representar uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ. A importância da distribuição normal se dá também pelo fato da média das amostras tiradas de quaisquer distribuições seguirem sempre distribuição normal.  Observe as seguintes características da fdp normal:

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