Resolução numérica (diferenças finitas) do ex. 3 da coleção 5
Resolver a equação de Laplace, que governa o fluxo, não precisa ser uma dor de cabeça insuportável... Processos numéricos permitem encontrar a solução com facilidade, até mesmo utilizando tão-somente os recursos de uma planilha eletrônica (Excel ou similar).
Nesta planilha, as células contêm basicamente uma fórmula que impõe que o valor da célula seja a média dos valores das quatro células vizinhas mais próximas. Demonstra-se que essa é a "tradução", para a "linguagem" das diferenças finitas, da equação de Laplace. Essa fórmula (média dos valores das quatro células vizinhas) sofre um ajuste nas fronteiras impermeáveis, para impor gradiente nulo na direção normal à fronteira em questão.
Como há referências circulares, a solução é iterativa, o que torna necessário habilitar essa opção na planilha.
Os gráficos das funções que nos interessam, h = h(x,z) e u = u(x,z), são gráficos de tipos já disponíveis no próprio Excel.
Apresenta-se o resultado completo para uma malha de 0,5 m x 0,5 m e, para comparação, as equipotenciais obtidas com uma malha mais grosseira, de 1,0 m x 1,0 m.
Apresenta-se também a função harmônica conjugada, ψ = ψ(x,z), chamada função fluxo, que também satisfaz a equação de Laplace e cujas curvas de igual valor são as linhas de fluxo.
Ainda não consegui um jeito fácil de superpor equipotenciais e linhas de fluxo para obter a rede de fluxo completa em um único gráfico. Uma maneira seria introduzir manualmente as sequências de dados das linhas de fluxo no gráfico das cargas hidráulicas, mas eu gostaria de encontrar uma maneira menos trabalhosa. Alguma sugestão?
Familiarize-se com o conteúdo das células. Apague-o em uma ou duas células centrais e tente entender o efeito nos gráficos. Depois copie a fórmula de volta para essas células, para reproduzir a solução original e sua representação gráfica.