A exponencial de matrizes tem propriedades muito parecidas com a exponencial numérica.

  1. Prove que \(e^{SBS^{-1}}=Se^BS^{-1}\) (ou veja o argumento que já usamos em aulas anteriores).
  2. A prova de que se $AB=BA$ então $e^{A+B}=e^A\cdot e^B$ é mais complicada e pode ser encontrada no livro. Mostre que isso implica que, para qualquer matriz $A$, $e^A$ é inversível e $(e^A)^{-1}=e^{-A}$.
  3. Use 2. e a definição da exponencial para provar que $\frac{d}{dt}e^{tA} = A\cdot e^{tA}=e^{tA}\cdot A$.
  4. Agora use 3. para concluir que a solução de $X'=AX, X(0)=X_0$ é $X(t)=e^{tA}X_0$.
  5. Repita a prova que fizemos em dimensão 1 para mostrar que a solução em 4. é única.


Última atualização: quarta-feira, 7 out. 2020, 13:58