Seguimos aqui o que está descrito na seção 6.4 de HSD, mas, muito melhor do que ler o que está escrito lá será você seguir os passos abaixo e ir descobrindo e entendendo à medida que o faz:

  1. Para qualquer matriz quadrada \(A\) definimos $e^A:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n$. Queremos mostrar que esta série converge para qualquer escolha da matriz $A$.
  2. Uma matriz $n\times n$ pode ser pensada como uma $n^2$-upla de números. Dizemos assim que uma sequência $\{A_k=[a_{ij}(k)]\}_k$ de matrizes converge se cada uma das sequências numéricas $\{a_{ij}(k)\}_k$ converge. 
  3. Definimos a norma $L^{\infty}$ da matriz $A=[a_{ij}]$ por $\|A\|_{\infty}:=\max\{a_{ij}\}$. Mostre que $A_k\to A$ se e só se $\|A_k-A\|_\infty\to 0$.
  4. Agora fixamos uma matriz $A$ $n\times n$ e denotamos a entrada $ij$ de $A^k$ por $a_{ij}(k)$ e $a=\|A\|_\infty$. Mostre, por indução, que vale a desigualdade $|a_{ij}(k)|\le n^{k-1}a^k$.
  5. Use 4. e o teste da comparação para séries para concluir que a série $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{ij}(k)}{k!}$ converge absolutamente e encontre uma cota superior para o valor absoluto da soma.
  6. Conclua que a série que define $e^A$ sempre converge.
Última atualização: quarta-feira, 7 out. 2020, 13:49