Ambiente de Testes Mateus M. F.

Descrição da aula

Conteúdo, texto e motivação para o estudo

Como que se pesa um planeta? Obviamente não podemos colocá-lo numa balança e medir o seu peso descobrir a massa como fazemos com as coisas no cotidiano.  Então que informação a observação de um planeta nos dá para encontrarmos de forma indireta, uma estimativa de sua massa?

Um bom começo seria pensar em como medimos o peso aqui na Terra. A balança que mede o peso que é uma força, faz isso em resposta a uma outra força, lembrando da lei de ação e reação, esta força é a força gravitacional. A força gravitacional descreve uma interação atrativa entre dois objetos, que neste caso é igual ao peso do objeto. Deste modo a terra atrai os objetos e a balança somente registra a força impressa sobre ela na interação entre a terra e objeto. 

Então a balança quando mostra a massa de algo também está fazendo uma medida indireta, utilizando a interação da força gravitacional existente entre o objeto e o planeta.

De modo similar também é buscando em uma interação gravitacional que podemos estimar a massa de algo no espaço fora da Terra. E quem assume o papel de balança no universo? Acertou se falou os satélites.

Satélites são objetos podendo ser naturais ou artificiais (gerados pela a humanidade) que orbitam um corpo celeste, ou seja, realiza uma trajetória ao redor de algo. Estes objetos estão constantemente sofrendo a ação da interação gravitacional daqueles que estão orbitando, pois a trajetória da órbita, dentre outros fatores, é mantida especialmente por essa interação.

Então um dos métodos para se estimar a massa de um planeta é observar um satélite que o orbita. Da astronomia uma das informações mais valiosas, sendo ciência que recebe a maioria de seus dados por meio visual, é a posição e o tempo. 

No sistema planeta e satélite, existem duas forças que são importantes na interação para estimar a massa do planeta, a força gravitacional e força centrípeta. A força gravitacional como antes dita é a interação atrativa entre dois objetos que é dado pela expressão:

\( F\ = \ \frac{ G \ \times \ M . m }{r^2}\)  

Na expressão G representa uma constante com valor G= 6,67 . 10¹¹ m³Kg^-1s^-2 uma constante de proporcionalidade, chamada de constante universal da gravitação. M representa a massa do planeta, em um sistema planeta-satélite, e m representa a massa do satélite com uma distância r entre as duas massas.

E a força centrípeta, é a força resultante que atua no movimento circular que pode ser escrita como:

\( Fr= m\ \times \ w^2 \times \ r \ \)

Sendo w é velocidade angular do satélite neste caso, que tem como expressão, w=2/T . Neste caso de sistema planeta-satélite estima-se com boa aproximação que o satélite orbita o planeta com uma órbita circular. Igualando as expressões de força no movimento temos;

\(  m\ \times \ w^2 \times \ r \ = \ \frac{ G \ \times \ M . m }{r^2} \)

substituindo w 

\( {\frac{ m \ \times \ \ r \ \times \ \ 4 \ \times \ \pi^2 }{T^2}}=\frac{ G \ \times \ M . m }{r^2} \)

Sendo T o período orbital do satélite, o tempo que leva para o satélite orbitar o planeta.

Isolando M, temos;

\( \ M=\frac{ 4 \ \times \ \pi^2 \ \times \ r^3 }{G \ \times \ T^2}\)

Portanto conhecendo o período orbital e a distância entre o satélite e o planeta é possível obter uma estimativa da massa de um planeta.

Figura: Eclipse causado pelo satélite natural Io orbitando o planeta Júpiter

Fonte: Wikipédia, 2020.

Referências: 

OLIVEIRA A. et al. Sequências didáticas para o ensino de astronomia utilizando o Stellarium, CADERNOS DE ASTRONOMIA, Núcleo Cosmo-ufes & PPGCosmo. vol. 1, n1, p. 123-137, 2020.

BRYSON B. Breve história de quase tudo. Companhia das Letras; 1ª edição. cap. 1, 2005.