PGF5001 - Mecânica Quântica I (2022)

Nesta aula foram abordados os seguintes tópicos: Espaços de Hilbert, Notação de Dirac (Bras e Kets), Produto Escalar, Bases, Operadores Lineares e Funções de Onda. Clique aqui para a versão em vídeo.

Nesta aula foram abordados os seguintes tópicos: Postulados da Mecânica Quântica, Teorema Espectral de Operadores Hermitianos, Formalismo do Operador Estatístico em sistemas puros e mistos (no caso de inclusão de probabilidades clássicas aos sistemas quânticos). Clique aqui para a versão em vídeo.

Nesta aula foram abordados os seguintes tópicos: o produto tensorial entre 2 espaços vetoriais, sistemas de dois níveis, operador estatístico e matriz densidade (operador estatístico na base coordenada). Vimos também como fenômenos de emaranhamento emergem naturalmente da formulação quântica para sistemas bipartites ou com muitas partes. Clique aqui para a versão em vídeo.

Nesta aula foram abordados os seguintes tópicos: construímos os operadores de posição e momento canônico e estabelecemos suas relações de comutação. Construímos os autokets desse operadores e suas propriedades, vimos os operadores de translação espacial e boost de velocidade e construímos os elementos de matriz na base coordenada e de momento desses operadores. Clique aqui para a versão em vídeo.

Nesta aula foram abordados os seguintes tópicos: Vimos como os princípios de incerteza surgem naturalmente para observáveis incompatíveis, construímos operador de evolução temporal a partir de suas propriedades markovianas e unitárias e apresentamos duas descrições diferentes (porém compatíveis) de evolução temporal: a descrição de Schrödinger e a descrição de Heisenberg. Clique aqui para a versão em vídeo da aula.

Nessa aula discutimos a evolução temporal de sistemas quânticos quando 𝐻=𝐻(𝑡). Introduzimos a expansão de Dyson, preparando para teoria de perturbação. Definimos propagador como o kernel da equação integral de Schrödinger quando 𝐻=𝐻(𝑡) e mostramos que no caso de 𝐻 não depender do tempo o kernel da equação é a função de Green. Calculamos, como exemplo, o propagador de um sistema de partículas livres. Clique aqui para a versão em vídeo da aula.

Fazemos aqui uma introdução do formalismo de Integrais de Trajetória, como uma visão alternativa da Mecânica Quântica que permite colocar em correspondência explícita as Mecânicas Clássica e Quântica. Usamos esse formalismo para mostrar outra forma de calcular o propagador, enfatizando no entanto que sua generalização é fundamental em áreas como Teoria Quântica de Campos e Mecânica Estatística (Sistemas Críticos e Transições de Fase). Clique aqui para o vídeo da aula.

Nessa aula discutimos simetrias na Mecânica Quântica, simetrias contínuas como de translação e rotação implementadas por operadores unitários e induzidas por geradores de grupos de Lie e simetrias discretas, também implementadas por operadores unitários, como a simetria de reflexão espacial. Definimos o que são os operadores de momento angular na Mecânica Quântica assim como o que são operadores escalares e vetoriais. Discutimos quando operadores são ligados a quantidades conservadas. Clique aqui para o vídeo da aula.

Abordamos aqui o momento angular na Mecânica Quântica a partir de considerações de simetria. Discutirmos o espectro geral dos operadores do momento angular e as consequências para as propriedades gerais dos espaços de Hilbert de j fixo de dois teoremas relacionados a propriedades do espectro de 𝐽_𝑧 que são invariantes de base. Exemplificamos com os caso especiais de spin 𝑗=1/2 e 𝑗=1 e depois generalizamos esses resultados. Clique aqui para o vídeo da aula.

Nessa aula discutimos sistemas que podem ser descritos pelo Hamiltoniano de um oscilador harmônico livre e encontramos os autovetores e autovalores desse sistema, construindo assim o espectro livre. Definimos os operadores de abaixamento e levantamento que nos auxiliam a construir os estados estacionários e a calcular o valor esperado de diversos observáveis. Em seguida, consideramos o Hamiltoniano que descreve um oscilador forçado. Encontramos as equações de Heisenberg para o operador de abaixamento e a solução dessa equação. Introduzimos o operador deslocamento que nos auxilia a descrever a evolução temporal do operador de abaixamento. Construimos o estado fundamental evoluído no tempo sob ação do potencial de um oscilador harmônico forçado. Clique aqui para o vídeo da aula.

Nessa aula definimos estados coerentes, que são estados particulares do oscilador harmônico cujo valor esperado dos operadores de coordenada e momento tem evolução temporal semelhante à evolução clássica. Esses estados tem a propriedade de que as incertezas na posição e momento saturam a relação de incerteza de Heisenberg, o que  é uma propriedade conservada pela evolução temporal do estado. Desenvolvemos aqui o formalismo de Glauber construindo os estados coerentes, autoestados do operador de abaixamento 𝑎$a$, deslocando o estado fundamental do oscilador harmônico livre usando o operador deslocamento 𝐷(𝑧)$D(z)$. Discutimos também o caso de uma partícula carregada  em um campo magnético estático e uniforme e mostramos como esse problema se relaciona ao de um oscilador harmônico unidimensional. Clique aqui para vídeo.

Nessa aula estudamos o problema de dois corpos com um potencial central em Mecânica Quântica. Mostramos como podemos separar o problema em dois: o do Hamiltoniano do centro de massa e o do Hamiltoniano relativo. Como o problema do centro de massa se reduz a o de uma partícula livre com a massa e momento total do sistema composto, discutimos também como descrever uma partícula livre usando a base de ondas planas (autoestados simultâneos das três componentes do momento da partícula) ou usando a base de autoestados simultâneos da energia, momento angular orbital 𝐿² e projeção 𝐿_𝑧 do momento angular orbital da partícula. Voltando ao problema de dois corpos, consideramos o sistema relativo também nessa base. Essa formulação se presta tanto ao estudo de espalhamento como o de sistemas ligados. A simetria de rotação permite mostrar que a única parte ainda não resolvida do problema é a que diz respeito a função de onda radial. Clique aqui para vídeo da aula.

Nessa aula discutimos um método de aproximação para determinar os autovalores e autovetores de um Hamiltoniano 𝐻₀+𝜆𝑊,onde inicialmente conhecemos os autovalores e autovetores de 𝐻₀. Esse método, denominado de método perturbativo, pressupõe que 𝜆𝑊 seja em "algum sentido" muito menor do que 𝐻_0. O método se baseia em uma expansão em série de potência de 𝜆, o parâmetro perturbativo, que em geral, não é uma série convergente, mas assintoticamente convergente. O tratamento é naturalmente diferente para a correção de níveis degenerados e não degenerados. Desenvolvemos o método nesses dois casos. Clique aqui para o vídeo.

Nessa aula discutimos o átomo de hidrogênio do ponto de vista de simetrias dinâmicas, mostrando como as degenerescências dos níveis de energia do átomo de hidrogênio estão relacionadas ao fato que o vetor de Runge-Lenz é uma constante de movimento do problema. Encontramos os níveis de energia desse sistema usando o método algébrico proposto por Pauli. Clique aqui para vídeo da aula.

Nessa aula discutimos as correções relativísticas de ordem mais baixa $(Z\alpha )$⁴ para o espectro de energia do átomo de hidrogênio: correção cinética, correção do acoplamento spin-órbita e correção de Darwin. Cálculamos  essas correções usando teoria de perturbação de estados degenerados. Mostramos que a única correção que produz quebra parcial da degenerescência dos níveis é a correção do acoplamento spin-órbita 𝐋⋅𝐒$$ e que a mudança  dos níveis de energia  não depende de l (número quântico orbital), mas apenas de 𝑗$\mathrm{ (o\; momento\; angular\; total\; do\; elétron).\; Os\; níveis\; de\; mesmo }$$n$ e mesmo 𝑗 continuam degenerados. Discutimos também as condições para efeitos de estrutura hiperfina. Clique aqui o vídeo da aula.