• Aula 15

    • P11/11 Test

    • Agenda


      • Apresentamos em aulas anteriores a programação linear (PL) como um ferramenta matemática de otimização condicionada. Aprendemos a formular problemas de PL (função objetivo, restrições e condição de não-negatividade da variáveis de decisão), e a resolver esses problemas com softwares como o lpsolve (um programa executável para Windows), e o OpenSolver (instalado como um suplemento no Excel).
      • Na última aula, conhecemos a formulação de PL para resolução do problema básico de gestão florestal que otimiza a escolha de prescrições para cada unidade de manejo, condicionado pela área disponível em cada unidade de manejo e por níveis mínimos anuais de produção de madeira. Nessa aula, dois vídeos foram disponibilizados. O primeiro aplicou o roteiro de formulação de problemas de PL ao problema básico de gestão florestal, e o segundo ilustrou o uso da PL na Fazenda Modelo.
      • Os estudos dirigidos ED09 e ED10 foram oferecidos como exercícios para assimilação desse conteúdo, assim como o acesso a uma apostila do curso com o material didático essencial e de referência para esta parte final da disciplina.
      • Nesta aula, retomamos o problema básico de gestão florestal com PL e introduzimos o conceito de variáveis endôgenas. Vamos aplicar esse conceito no estudo de gestão da Fazenda Modelo, e discutir a sua utilidade no tratamento de problemas reais.
    • ED09 Test

      Parte 3 - Uso de variáveis endógenas no modelo básico da gestão florestal

      Desenvolvemos nesta vídeo-aula o conceito de variáveis endógenas, ou "contábeis". Quando utilizadas no modelo básico de programação linear para a gestão florestal, essas variáveis são expressas como função dos valores assumidos pelas variáveis incógnitas do problema, isto é, pelas variáveis xik (hectares da unidade de manejo i conduzidas pelo regime de manejo k). Assim sendo, e conhecidos os valores das variáveis xik, podemos criar variáveis endógenas, por exemplo, para contabilizar a produção resultante em um certo ano, ou a área total de uma certa classe de idade em um determinado ano do horizonte de planejamento. Percebe-se que são "endógenas" porque são automaticamente e endogenamente definidas no momento que as variáveis principais do problema (xik) assumem certos valores, isto é, contabilizam o resultado das variáveis principais assumirem certos valores.

      O modelo básico de P.L.
      para gestão florestal com
      variáveis endógenas
    • ED10 Test

      Parte 4 - Exemplo do uso de variáveis endógenas para controlar a produção anual da Fazenda Modelo

      Nesta vídeo-aula, variáveis endógenas são definidas no modelo básico de gestão florestal da Fazenda Modelo para que a produção anual seja controlada com mais flexibilidade. Assim sendo, para cada ano do horizonte de planejamento cria-se uma variável endógena, ou seja, para cada restrição de produção, que no modelo básico envolvia um piso de produção, define-se agora uma variável VOLt que soma o eventual volume produzido no ano t. Disponíveis matematicamente, essas variáveis endógenas podem agora ser manipuladas como quisermos. Podemos, por exemplo, impor VOLt ≥ 20000; ou VOLt+1 = VOLt ; ou VOLt+1 ≥ VOLt ; ou ainda VOLt+1 ≥ 2 VOLt ... etc.

      Inclusão de variáveis endógenas
      na formulação P.L. do problema
      da Fazenda Modelo

      O uso de variáveis endógenas (contábeis) nos permite estender a capacidade da programação linear nos oferecer modelos muito úteis de planejamento florestal. Na Fazenda Modelo, podemos analisar cenários que, por exemplo, (i) buscam fluxos anuais de produção relativamente estáveis dentro de margens em torno da média anual de produção; ou que (ii) nos ajudam a controlar, para um determinado ano do horizonte de planejamento, o estoque de madeira em pé, ou a área por classe de idade. Veja como isso pode ser feito estudando aplanilha MS-Excel, nas abas VariaEmTornoDeMédia e ControlaEstoqueClasseIdade

    • Formulações básicas de PL para Gestão Florestal

      1. A formulação básica

      A formulação básica de PL para gestão florestal determina que a otimização da função objetivo é condicionada por dois tipos básicos de restrições: (i) tetos com a área máxima disponível de cada unidade florestal; e pisos com os níveis anuais mínimos de produção exigida:

      \( \begin{align*} Max \ \ TPV & = \sum_{i} \sum_{k} D_{ik} X_{ik} & \\ subject \ \ to: & & \\ & \sum_{k} X_{ik} & \leq A_i \ \ (i = 1, 2, \cdots N) \\ & \sum_{i} \sum_{k} v_{ikt} X_{ik} & \geq VMin_{t} \ \ (t = 1, 2, \cdots T) \\ & X_{ik} \geq 0 & \\ \end{align*} \)

      [Excel] [lp_solve]


      2. A formulação com variáveis contábeis (ou endógenas)

      Uma variável é denominada contábil (ou endógena) quando a expressa a consequência das variáveis de decisão assumirem certos valores. Como o nome diz, "contam" qual é a consequência de termos encontrado uma solução, ou mais especificamente capturam endogenamente o resultado das variaveis de decisão assumirem certos valores. Para o caso da Fazenda Modelo, por exemplo, podemos criar variáveis contábeis de produção  (Pt) da seguinte forma:

      \( \begin{align*} Max \ \ TPV \\ subject \ \ to: & & \\ & \sum_{i} \sum_{k} D_{ik} X_{ik} - TPV & = 0 \\ & \sum_{k} X_{ik} & \leq A_i \ \ (i = 1, 2, \cdots N) \\ & (\sum_{i} \sum_{k} v_{ikt} X_{ik}) - P_t & = 0 \ \ (t = 1, 2, \cdots T) \\ & X_{ik} \geq 0 & \\ \end{align*} \)

      [Excel] [lp_solve]


      3. A formulação com produção anual perfeitamente ordenada

      O uso de variáveis contábeis dá à equipe de planejamento florestal mais capacidade de tratamento e controle. Por exemplo, é possível impor um fluxo anual de produção absolutamente constante (ordenamento perfeito). Nesse caso, reflita sobre a importância de termos definido as áreas de cada unidade de gestão como tetos. Experimente relaxar a imposição de ordenamento perfeito da produção nos primeiros anos.

      \( \begin{align*} Max \ \ TPV \\ subject \ \ to: & & \\ & \sum_{i} \sum_{k} D_{ik} X_{ik} - TPV & = 0 \\ & \sum_{k} X_{ik} & \leq A_i \ \ (i = 1, 2, \cdots N) \\ & (\sum_{i} \sum_{k} v_{ikt} X_{ik}) - P_t & = 0 \ \ (t = 1, 2, \cdots T) \\ & P_{t+1} - P_{t} & = 0 \ \ (t = 1, 2, \cdots T) \\ & X_{ik} \geq 0 & \\ \end{align*} \)

      [Excel] [lp_solve]


      4. A formulação como produção anual não-decrescente

      Ao invés de impor fluxo anual de produção constante, experimento impor um fluxo de produção não-decrescente. Da mesma forma que no caso anterior, reflita sobre as consequências de relaxar a condição não-decrescente de produção nos primeiros anos.

      \( \begin{align*} Max \ \ TPV \\ subject \ \ to: & & \\ & \sum_{i} \sum_{k} D_{ik} X_{ik} - TPV & = 0 \\ & \sum_{k} X_{ik} & \leq A_i \ \ (i = 1, 2, \cdots N) \\ & (\sum_{i} \sum_{k} v_{ikt} X_{ik}) - P_t & = 0 \ \ (t = 1, 2, \cdots T) \\ & P_{t+1} - P_{t} & \geq 0 \ \ (t = 1, 2, \cdots T) \\ & X_{ik} \geq 0 & \\ \end{align*} \)

      [Excel] [lp_solve]

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