Indice degli argomenti
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Horário, local, critérios de aprovação, datas de provas, cronograma de seminários, programação das aulas, etc.
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Exercícios que faremos nas aulas de Mathematica. Se você usa outra linguagem, faça esses exercícios para ver se seu conhecimento de programação é suficiente para acompanhar o curso. É absolutamente essencial fazer as contas nesta disciplina!
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De 5/5 a 16/5, os seminários serão dedicados à apresentação dos temas. O tempo disponível será de 10-12 minutos, de modo que prepare sua apresentação para 5 a 7 minutos, o que costuma corresponder a 5 ou 6 slides de conteúdo, mais os de título/equipe e de despedida.
Consulte o pdf em anexo para verificar a data do seu seminário.
Suba aqui seus slides antes da apresentação; baixarei os arquivos no micro do professor, para que possam ser usados na sala de aula.
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Suba aqui o resumo do seu trabalho, bem como a descrição das etapas que pretende seguir para conclui-lo até a data do seminário final. Não é preciso mais do que uma ou duas páginas, mas tem que ser o suficiente para que eu compreenda em que consiste o trabalho e o procedimento que será adotado para alcançar o resultado pretendido,
Os grupos de 3 estudantes precisam descrever as atribuições de cada membro. O prazo final é dia 26/5.
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A aula será na sala de micros (2026). Vou dividi-la em três tempos:
- Uma discussão do conteúdo central da disciplina - inferência estatística - e o quadro geral da teoria da estimação.
- Apresentação do professor e da/os estudantes e a proposta de organização da disciplina
- Os conceitos de probabilidade e aleatoriedade; uma simulação da metalização; um MCMC no Excel; a definição de probabilidade.
Leitura recomendada antes da aula: Seções 1.1 a 1.5 do capítulo 1.
16 às 17 hs Introdução ao Mathematica: uso básico e gráficos
Depois dessa aula, deve ser possível resolver o problema 1 dos exercícios de programação em poucos minutos (claro, quem estiver aprendendo, esses minutos mais os muitos necessários para aprender o que for preciso.)
Links para os vídeos:
- Aula parte 1: Probabilidade vs Inferência estatística
- Aula parte 2: Monte Carlo com Excel para poker com dados
- Mathematica aula 1: Básico e Plotagem
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No primeiro tempo da aula, discutiremos os assuntos do título acima. Definiremos valor esperado e variância de uma função de probabilidade e discutiremos sua relação com a média e o desvio-padrão calculados com as fórmulas usuais.
A atividade da segunda parte ainda será com o Excel (3a que vem será com o Mathematica ou sua linguagem de escolha). Usando o método de Monte Carlo, procuraremos entender o comportamento estatístico da soma de variáveis aleatórias, tanto para uma variável discreta quanto para uma variável contínua.
Leitura: Seções 1 a 7 do capítulo 1.
Aula de Mathematica às 16 hs: geração de números aleatórios e funções básicas da estatística
Além das funções que permitem gerar números aleatórios, apresentaremos os comandos que permitem criar listas (de qualquer tipo de objeto) as funções básicas da estatística. Um dos exercícios propostos conclui a atividade da segunda parte da aula.
Links para os vídeos:
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https://eaulas.usp.br/portal/video.action?idItem=35757Nesta aula, veremos:
•Função densidade de probabilidade normal bivariada; covariância e correlação•Média ≥ Mediana ≥ Moda (ou Moda ≥ Mediana ≥ Média)•Estimativa do valor verdadeiro (paramétrica e não-paramétrica)•Ensaio de Bernoulli e a a Função de probabilidade BinomialLeitura:- Capítulo 1, seções 1.7 a 1.11
- Capítulo 2, seção 2.1
Atividades:
- Determinar as distribuicoes marginais da distribuicao de notas do ENEM2019, que estão na planilha Nota e RendaENEM2019.xlsx, aqui abaixo
- Exercícios 2.5 e 2.4
Na aula de Mathematica,
começaremos a estudar como representar matrizes e vetores, e como lidar com eles; esse assunto será completado na próxima aula., e é um dos temas centrais para aprender nessa linguagem de programação.
Links para os vídeos:
- Aula, parte 1: A f.d.p. normal de duas variáveis
- Aula, parte 2: A binormal e a covariância; estatística não-paramétrica; Função de probabilidade binomial
- Introdução ao Mathematica 3: Vetores e Matrizes, parte 1.
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Os tópicos que veremos nesta aula:
•Função de probabilidade de Poisson•Algumas propriedades da Poisson•A f.d.p. Multinormal, muitas variáveis•Estimativa do valor verdadeiro (não-paramétrica)•A função característica•A f.d.p. da média de dados com f.d.p . normal•Transformação de variáveis aleatóriasLeitura: Seções 2.2 a 2.7Introdução ao Mathematica:
Vetores e Matrizes, parte 2Links para os vídeos
- Parte 1: Funções de probabilidade de Poisson e multinomial; função característica e transformação de variável
- Parte 2: Atividade - a soma de variáveis distribuídas como Binomial; a f.d.p. do volume quando o diâmetro é normal
- Introdução Ao Mathematica 4: Operações com vetores e matrizes
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31/3. Funções de probabilidade de qui-quadrado; desvio-padrão do desvio-padrão; propagação de incertezas
Objetivos:•Funções de probabilidade de qui-quadrado•A fórmula da propagação da incerteza•O desvio-padrão do desvio-padrão•Um exemplo clássico de geração de covariância entre grandezas experimentais•Formalismo matricial de “propagação de incertezas”•Aplicação desse formalismo na gravimetria de líquidosAtividades:- A precisão do desvio-padrão
- Propagação de incertezas quando a covariância é conhecida
Leitura: Capítulo 2, seções 8 a 10, e cap. 3, seções 1 a 4
Introdução ao Mathematica
Detalhes de funcionamento. Igualdade deferida e função
Links para os vídeos
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- Definir intervalo de confiança.
- Definir e usar \(t\) de Student para construir intervalos de confiança para o valor verdadeiro da grandeza para medidas com distribuição normal.
- Construir intervalos de confiança para dados com qualquer distribuição.
- Atividade: determinar intervalos de confiança por simulação, para f.d.p.s simétricas
Leitura: Capítulo 3, seções 5 a 7
Introdução ao Mathematica
- Escrever uma função mais complicada e a localização das variáveis
- Regras
- Funções da estatística: Função densidade de probabilidade cumulativa e sua inversa
Videos da aula
- Intervalos de confiança. t de Student
- Introdução Ao Mathematica 6, 11/4/23: Module, Rule, Manipulate
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- O problema da inferência estatística
- O método da máxima verossimilhança
- Estimativa da média e do desvio-padrão em medida de dados com f.d.p. normal
Leitura: seções 4.1 a 4.4
Introdução ao Mathematica 7: Strings; Entrada de dados; mais operações com listas
Links para os vídeos:
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Leitura: Capítulo 4, seções 5 a 12.
- O Método dos Mínimos Quadrados
- Aplicação a funções lineares nos parâmetros
- Equivalência entre Máxima Verossimilhança e Mínimos Quadrados p/ dados normais
- Exemplo: ajuste dos parâmetros de uma distribuição angular
- Os desvios-padrões das estimativas
Atividades:- Ex. 4.5: Ajustar os coeficientes de uma reta
- Ex. 4.6: Estimativa da defasagem de um oscilador harmônico
Introdução ao Mathematica 8: Funções puras. Função para ajuste linear
Links para os vídeos
- Aula: O método dos mínimos quadrados. Ajuste de parâmetros de funções lineares
- Introdução ao Mathematica 8, 18/4/23. Funções puras; grandezas com desvio-padrão; as funções de ajuste de parâmetros
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Ajuste pelo Método dos Mínimos Quadrados dos parâmetros da função \(W(\theta ) = A_0 + A_2 P_2 (\cos \theta) + A_4 P_4 (\cos \theta) \) a um conjunto de dados \(\{ \left( \theta _i , w_i, \sigma _i \right) , i=1..N \} \), em que \(\sigma _i \) é o desvio-padrão de \(w_i\).
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Este questionário é formado por três questões numéricas, de mesmo peso, sobre os temas dos capítulos 2 a 4. A duração máxima é de uma hora, e você pode fazer 3 tentativas - vale a nota mais alta. Caso não tenha os programas para resolver as questões, provavelmente não vai dar tempo na primeira tentativa, mas você tem mais duas e não há penalidade por fazer as 3 tentativas; os problemas são os mesmos, embora com dados diferentes a cada tentativa, e você pode rever os problemas durante os intervalos entre uma tentativa e outra. Há um intervalo mínimo de uma hora entre a 1a e a 2a tentativas, e de 2 horas, entre a 2a e a 3a.
Forneça as respostas com 3 (três) algarismos significativos e use o ponto como separador decimal - por sorte, o sistema põe um triângulo de aviso no campo de resposta se perceber uma vírgula. Caso precise ou deseje usar potências de 10, use a notação n.nnnExx, em que xx é a potência de 10. Exemplos: 0.00325 fica 3.25E-3 ou 3.25e-3; 3250000 fica 3.25E6 ou 3.25e6
O questionário ficará aberto até as 12:00 do dia 25/4. Você pode usar qualquer material ou programa durante a solução, mas não pode consultar a/os colegas enquanto estiver dando as respostas. Claro que a troca de informação durante os intervalos entre as tentativas é não só permitida, como também incentivada; não deixe de esclarecer seus erros, especialmente se permanecerem após a 2a tentativa.
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Procedimento geralO teste z; o tamanho do testeO teste tErro tipo I e erro tipo IIO poder do testeO teste t na comparação de duas médiasLeitura: Capítulo 5, seções 1 a 5
Introdução ao Mathematica 9:
- localizar, selecionar, aplicar repetidamente mesma função
- Do, For e If
Vídeos da aula
- Aula, parte 1. Teste de hipótese. Erro tipo I e erro tipo II
- Aula, parte 2. Atividade: estimando o nível de confiança em um teste de hipótese por simulação
- Introdução ao Mathematica 9. Funções para seleção e localização. Instruções para procedimento: Do, For, While
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•Testes estatísticos sobre a estimativa da variância•A distribuição da razão de variâncias – F de Fisher•Um exemplo real envolvendo as variâncias:- Teste sobre uma variância- Comparação de duas variâncias•Texto qualitativo de um ajuste de parâmetros•Texto quantitativo de um ajuste de parâmetros – qui-quadrado•O que é “qui-quadrado reduzido”
Introdução ao Mathematica
- Particionando um programa - os packages
- Instruções para procedimentos: Which
- Definindo uma função por pedaços: Piecewise
Videos
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•Conceitos primitivos: espaço amostral e evento•Relações entre eventos•Os axiomas da Teoria da Probabilidade•Probabilidade condicional e o Teorema de Bayes•Independência Estatística•Variável aleatória – definição•Funções de probabilidade: densidade condicional, marginal. Distribuição de probabilidade•Valor esperado, momentosLeitura: Cap. 6, seções 1 a 12
Seminários - das 16 às 17 hs
Vamos discutir a apresentação dos seminários e sortear as datas do seminário de apresentação dos temas,começando na 6a-feira 5/5. A ideia desse seminário é deixar claro em que consiste o trabalho que será realizado;não há necessidade de apresentar qualquer resultado.Como somos muitos, a apresentação terá que ser curta. -
- Função geratriz de uma f.p. (variável discreta)
- Somas de variáveis aleatórias
- Função característica e a geratriz dos cumulantes
- O teorema central do limite
- Desigualdade de Chebyshev
- A lei dos grandes números
Atividades:
- Ex. 6.6: soma de variáveis Poisson em número aleatório também Poisson
- Observar a não tendência à normalidade de uma soma de aleatórios com pdf de Cauchy.
Leitura: Capítulo 6, seções 12 a 18.
16 às 17:00 Seminários - exposição dos temas
Links para os videos:
Aula: Teoria da probabilidade, relações importantes
Seminários: Temas dos trabalhos finais: compressão de imagens; parâmetros da luminosidade de AGNs; separação de partículas no detetor; espectro de nêutrons rápidos; espectros de raios-X.
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- Definições de probabilidade
- Teorema de Bayes formatado para inferência estatística
- Inclusão da hipótese como variável aleatória
- Interpretação bayesiana
- Estimadores e estimativas – interpretação desses termos
- Propriedades do bom estimador:
- consistência
- não-tendenciosidade
- eficiência
Leitura: capítulo 7, seções 1 a 9
16 às 17 hs: Seminários sobre os temas dos trabalhos finais da disciplinaVídeos:
- Aula: Teoria dos estimadores
- Atividade: Aplicação da função geratriz a uma soma de variáveis aleatórias em número aleatório
Seminários: Tema dos trabalhos finais: força variável; bursts do Helimak; precisão na digitalização de imagens; plasma de quarks e gluons
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Demonstração da existência do Limite Mínimo da Variância (LMV) e as condições para existência de um estimador de Variância Mínima; unicidade do estimador de Variância Mínima e as condições para a f.d.p. admitir um estimador de Variância Mínima. De novo o critério da eficiência. A suficiência estatística.
Leitura: capítulo 7, seções 10 a 15
Videos da aula e do seminário
- Aula: O limite mínimo da variância de um estimador
- Seminários: Temas dos trabalhos finais, parte 3: medida do rolamento sem escorregamento; evolução temporal dos aerossóis; ruido eletrônico; detetores de partículas
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Tópicos:
- O modelo linear
- Estimativa dos parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)
- Exemplos de ajuste de parâmetros
- Não tendenciosidade do estimador de MMQ
- A variância do estimador
- Exemplos de cálculo da matriz de variância dos parâmetros
- Variância mínima do MMQ
Links para os videos:
Aula, parte 1: Mínimos quadrados: o método e propriedades
Aula, parte 2: Simulação das propriedades da estimativa da vida média
Seminário: Temas dos trabalhos finais: Sensibilidade na medida de raios-X; limiar de dano por laser; determinação de CO2 e temperatura da superfície da Terra; dinâmica de spin não-hermitiana; evasão discente da USP -
A média é a estimativa linear de variância mínima – interpretação geométrica. A matriz chapéu ( H ). A estimativa não tendenciosa da variância no ajuste de vários parâmetros; exemplos. Análise de variância para duas variáveis – o coeficiente de correlação r. As variâncias dos resíduos. Inclusão das correlações entre dados experimentais. A distribuição de probabilidade dos parâmetros ajustados.
Leitura: Cap. 8, seções 7 a 13.
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Tópicos:
- A forma da função verossimilhança do parâmetro da f.p. de Poisson
- A consistência do estimador de Máxima Verossimilhança
- A tendência à normalidade do estimador de Máxima Verossimilhança
- A eficiência assintótica do estimador de Máxima Verossimilhança
- O estimador de Máxima Verossimilhança no ajuste simultâneo de vários parâmetros
Leitura: Cap. 9, seções 1 a 5
Vídeos da aula e do seminário
- Aula: Máxima verossimilhança e propriedades
- Aula: Solução da atividade proposta na aula anterior: MMQ com dados heterogêneos
- Seminário: Bibliotecas do Python básicas para inferência estatística, por Rodrigo P. Silva
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Conteúdo: slides da aula, notebook do Mathematica com a solução da atividade da aula passada, e duas versões do seminário do Rodrigo, uma como arquivo .py e outra, um notebook do Jupiter.
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O estimador de Máxima Verossimilhança no ajuste de parâmetros a dados com distribuição normal. Métodos para lidar com muitos parâmetros: os métodos de Gauss e de Gauss-Marquardt. Questões práticas quando as equações do MMQ não são lineares nos parâmetros. Como corrigir a tendenciosidade do estimador de Máxima Verossimilhança. Como lidar com poucos dados ou verificar que os métodos da máxima verossimilhança e dos mínimos quadrados não são adequados.
Leitura: cap. 9, seções 9.6 a 9.8.
Links para os vídeos:
- Aula, parte 1. Máxima verossimilhança e o método dos mínimos quadrados
- Aula 18, parte 2. Aplicações dos métodos da máxima verossimilhança e dos mínimos quadrados
- Seminário: A geração de números aleatórios
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As propriedades de não-tendenciosidade e variância mínima do método dos mínimos quadrados (MMQ) quando aplicado ao modelo linear dependem do conhecimento exato da matriz de planejamento. Assim, quando os elementos dessa matriz são variáveis aleatórias, as propriedades ótimas desse estimador não são mais garantidas. Mostraremos como, em certas circunstâncias, é possível usar o MMQ e obter estimativas adequadas, bem como localizar os limites de aplicabilidade do método, a fim de não acreditar nos resultados obtidos quando sejam inconsistentes.
Vídeo da aula:
Aplicação do método dos mínimos quadrados quando há erro na variável independente (preditora)-
O roteiro de cálculo está em anexo. Você precisa fazer upload de um relatorio com os principais resultados obtidos, definindo os limites de aplicabilidade do método, com exemplos. Esse documento tem que ter menos de 10 páginas, incluídas as figuras, e deve ser formatado como um pdf. A solução do problema será encaminhada na aula do dia 2/6.
Faça upload também do programa usado, como um notebook do Mathematica ou do Jupiter, ou um txt se a linguagem roda código sem formatação; outros formatos ilegíveis humanamente precisam ser convertidos a pdf ou um desses já mencionados.
Você tem até 11/6 para fazer upload dos arquivos.
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Quando a função modelo não é linear nos parâmetros e os dados tem distribuição normal, o Método dos Mínimos Quadrados equivale ao da Máxima Verossimilhnaça. Mostraremos como nesse caso pode ser feito o mapeamento da função de mérito para determinar os parâmetros e verificar a existência de outros mínimos, que é uma parte importante do teste de qualidade do resultado.
Videos da aula:
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O roteiro da tarefa está em anexo, no arquivo MapearQ.pdf. A função de teste a usar é diferente para cada estudante e está na tabela do arquivo "DesignaçãoDaFuncao.pdf", também em anexo Você precisa fazer upload de um relatório com os principais resultados obtidos. Esse documento tem que ter menos de 5 páginas, incluídas as figuras, e deve ser formatado como um pdf. A solução do problema será encaminhada na aula do dia 6/6.
Faça upload também do programa usado, como um notebook do Mathematica ou do Jupiter, ou um txt se a linguagem roda código sem formatação; outros formatos ilegíveis humanamente precisam ser convertidos a pdf ou um desses já mencionados.
Você tem até 20/6 para fazer upload dos arquivos.
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Não há qualquer necessidade de uma expressão analítica para a aplicação do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Nesta aula, desenvolveremos o ajuste dos parâmetros físicos que descrevem a trajetória no plano de um movimento com força variável, cuja equação de movimento foi resolvida numericamente.
Links para os vídeos
parte 2: Como corrigir a tendenciosidade
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O roteiro da tarefa está em anexo, no arquivo IncertezaTotal.pdf. O conjunto de dados a usar é diferente para cada estudante e está na tabela do arquivo "dadosAtividade3.dat"; selecione o conjunto de dados abaixo do seu nome. Você precisa fazer upload de um relatório com os principais resultados obtidos, com uma discussão da compatibilidade dos dois métodos de propagação de incerteza usados. Esse documento tem que ter no máximo 5 páginas, incluídas as figuras, e deve ser formatado como um pdf.
Faça upload também do programa usado, como um notebook do Mathematica ou do Jupiter, ou um txt se a linguagem roda código sem formatação; outros formatos ilegíveis humanamente precisam ser convertidos a pdf ou um desses já mencionados.
Você tem até 21/6 para fazer upload dos arquivos.
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Respostas a diversas dúvidas, especialmente em relação às atividades 1 (método dos mínimos quadrados - mmq - com erro na variável preditora) e 2 (mmq com parâmetro não linear e poucos dados). Também uma pergunta sobre "que é um bom qui-quadrado".
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A prova será realizada na próxima semana e será inspirada pelos exercícios do livro.
Links para os vídeos:
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A prova será inspirada nos exercícios do livro, mas sem consulta, de maneira que versará sobre os conceitos e ideias básicas que foram exploradas ao longo do semestre.
Local: sala 2028, vizinha à que usamos normalmente.
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30/6: David Cavalcante e Gustavo Antonio: Análise da precisão do software WebPlot
Programação de 4/7:
- Caroline e Vitória: Curva de sensibilidade de um sistema de fluorescência de raios-X
- Enrico e Rodrigo Silva: SVD e PCA na compressão de imagens de raios-X
- Javier: ruido Johnson-Nyquist
- Vitor Mirwald: Recorte socio econômico do corpo discente da USP
Programação de 7/7
- David, Paulo Henrique e Paulo Ernesto: Propriedades estatísticas dos bursts do Helimak
- Carlos: Caracterização do espectro de nêutrons rápidos de um reator
- Eduardo Queiroz: Covariâncias nas intensidades de raios-X emitidos por fontes radioativas
- Felipe: Estatística de um sistema quântico de dois níveis
- Gabriela e Rodrigo Lustosa: Análise da concentracao de CO2 na Terra e da temperatura de superfície da RMSP por satélite
- Hanna: Evolução temporal da concentração de aerossóis na zona rural de SP
Programação dia 11/7
- Barbara: Análise de espectros condicionais em matrizes de coincidência
- Eduardo Stefanato e Vitor Souza: Limiar de danos induzidos por lasers em vidros
- Giovanna: Reconstrução da função de luminosidade de AGNs
- Gustavo Borba e Levi: Um modelo para o rolamento sem escorregamento
- Joao: Distribuição de momento transverso na colisao Pb-Pb
- Matheus: Detetores de partículas de GaAs
- Leonardo e Yuri: Modelo para o movimento com atrito variável
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Deposite aqui os slides do seu seminário, antes da data em que o apresentará. Verifique a data programada para o seu seminário no arquivo em anexo.
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Suba aqui o texto relativo ao seu seminário e qualquer material complementar que seja necessário. Um texto de 5 páginas é suficiente, e não mais que 10 páginas, mesmo que tenha muitas figuras.
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