Nos modelos para prever o ponto de impacto na tela para partículas sujeitas às ações de campos elétrico e magnético, feitos anteriormente, supusemos que os campos (e as forças) são constantes. Apesar de os dados serem bem descritos por esta suposição, os campos não são uniformes ao longo da trajetória das partículas. Há efeitos de borda relevantes. Então porque estas suposições funcionam? Reflita sobre isto.

Para descrever precisamente as trajetórias dos elétrons no TRC, sob ação de campos elétricos e magnéticos, precisamos conhecer bem a distribuição espacial destes campos e suas dependências com \(V_{P}\) (para campos elétricos) e \(i\) (para campos magnéticos).

Das equações do eletromagnetismo podemos deduzir que os campos elétricos e magnéticos são diretamente proporcionais à tensão entre as placas e à corrente nas bobinas, de modo que podemos escrever que, em uma dada posição \(x\) ao longo da trajetória da partícula:

\( E(x) = \alpha(x) V_{P} \)

\(B(x) = \beta(x) i \)

ou seja, determinar a dependência de \(\alpha(x)\) e \(\beta(x)\) com \(x\) permite calcular o valor dos campos, em qualquer posição, conhecendo a tensão entre as placas e a corrente nas bobinas.

Realizando o experimento

Essa atividade consiste de três partes: 

  • Medir o campo magnético criado pelas bobinas posicionadas ao lado do TRC
  • Simular computacionalmente o campo eletrostático das placas de deflexão do TRC
  • Simular a trajetória do feixe de elétrons do TRC
Medidas de campo magnético das bobinas

O objetivo desta medida é estabelecer a relação \(B(x) = \beta(x) i \) ao longo do eixo de simetria do sistema de duas bobinas, por onde o feixe de elétrons passa e sofre desvios. Para isto devemos medir \( \beta(x) \) ao longo deste eixo para várias correntes e determinar a compatibilidade entre estas medidas. 


Figura 1 - Montagem para mapeamento de campos magnéticos


Figura 2 - Detalhes do sensor Hall

 

 

Link para o vídeo no YouTube: https://youtu.be/8wQi85UOOmc

O experimento foi realizado da seguinte forma:

  1. Montou-se as bobinas na mesma geometria utilizada na atividade passada. A diferença é que o TRC não está montado, somente as bobinas. As bobinas foram ligadas da mesma forma que na atividade anterior.
  2. A medida do campo magnético foi feita com um sensor Hall acoplado a uma interface de aquisição de dados. Este sensor Hall é montado sobre um suporte que permite movimentos tridimensionais. Uma foto da montagem mecânica é mostrada na figura 1.
  3. Foi aplicada uma corrente nas bobinas da ordem de mA
  4. Mediu-se o campo magnético ao longo do eixo de simetria das bobinas, considerando tanto as regiões fora da bobina como entre elas. Note que o campo magnético se estende por grandes regiões e é importante caracterizar bem este campo. 
  5. De posse dos dados faça o gráfico de \(\beta(x)\) em função da posição para os campos medidos.
  6. Os passos 3 e 4 foram repetidos para pelo menos 4 valores diferentes de corrente.
  7. As curvas de \(\beta(x) \) obtidas para as várias correntes são compatíveis entre si? Parametrize esta curva por uma função apropriada.
Simulação do campo elétrico das placas do TRC

Como não é possível acessar as placas do TRC para realizar medidas experimentais do campo elétrico gerado por estas placas, vamos fazer uma simulação computacional utilizando o software FEMM. A geometria das placas é apresentada na página de introdução do Experimento 3.

Utilizando o software FEMM e as instruções do texto faça:

  1. Siga as instruções do anexo do texto e calcule o campo elétrico ao longo do eixo de simetria entre as placas
  2. Obtenha, deste campo, o gráfico de \(\alpha(x) \) ao longo do eixo de simetria. Faça o gráfico desta grandeza.
  3. Você pode utilizar argumentos físicos para garantir que o gráfico obtido é o mesmo, independentemente da tensão entre as placas?
Simulação do movimento das partículas

Agora vocês já determinaram as funções \(\alpha(x)\) e \(\beta(x)\) que parametrizam os campos elétrico e magnético, respectivamente. Neste caso, conhecendo-se a tensão entre as placas e a corrente nas bobinas podemos obter que os campos são, ao longo da trajetória da partícula:

\( E(x) = \alpha(x) V_{P}\)

\(B(x) = \beta(x) i\)

Assim, podemos escrever que a força sobre uma partícula vale, em uma dada posição:

\(\vec{F} = q(\vec{E} +\vec{v}\times\vec{B}) \)

Tomando que os campos elétrico e magnético são, respectivamente, \(\vec{E} = E\vec{k}\) e \(\vec{B}=-B\vec{j}\), podemos escrever que a força resultante é:

\(\vec{F} = q(Bv_{z}\vec{i} +(E-Bv_{x})\vec{k}) \)

Ou seja, temos duas componentes. Na medida em que a velocidade em z aumenta, por conta da deflexão pelos campos, a velocidade em x também se altera, mesmo que pouco. Isto porque o produto vetorial da velocidade pelo campo magnético faz com que a força magnética seja central, gerando um movimento circular.

A aceleração, em cada ponto, pode ser obtida a partir da segunda Lei de Newton, \(F = ma\). Calcular a trajetória de uma partícula, nestas condições é muito simples e pode ser feita utilizando uma planilha eletrônica. Se discretizarmos a trajetória da partícula em pequenos intervalos \(\Delta x\), de modo que possamos assumir que a força é constante naquele intervalo, podemos dizer que o movimento é uniformemente acelerado deste intervalo. A aceleração sofrida pela partícula em um intervalo \(\nu\) tem duas componentes, que valem:

\(a_{x,\nu} = \frac{q}{m}\left( B_{\nu}v_{z,\nu-1} \right) \)

\(a_{z,\nu} = \frac{q}{m}\left(E_{\nu}-B_{\nu}v_{x,\nu-1} \right) \)

O intervalo de tempo que a partícula leva para percorrer a distância \(\Delta x\) em um intervalo \(\nu\) é:

\(\Delta t_{\nu} = \frac{\Delta x}{\lt v_{x,\nu}\gt} = \frac{2\Delta x}{v_{x,\nu-1}+v_{x,\nu}} \)

Para calcular \(\Delta t_{\nu} \) precisamos da velocidade final em \(x\) no intervalo \(\nu\), que pode ser calculada como:

\(v_{x,\nu} = \sqrt{v_{x,\nu-1}^{2}+2a_{x,\nu}\Delta x} \)

Isto porque no nosso problema estamos supondo que, no intervalo \(\nu\) o movimento é uniformemente acelerado. A velocidade final no intervalo \(\nu\) em \(z\) pode ser calculada como:

\(v_{y,\nu} = v_{y,\nu-1}+a_{y,\nu}\Delta t_{\nu} \)

E a posição na direção \(z\) da partícula ao final do intervalo \(\nu\) é dada por:

\(z_{\nu} = z_{\nu-1} + v_{z,\nu-1}\Delta t_{\nu} + \frac{1}{2}a_{z,\nu}\Delta t_{\nu}^2 \)

Este procedimento é feito continuamente para cada intervalo \(\nu\) e, com base nisto, calculamos a trajetória da partícula \((x,z)\) dentro do TRC. Esta planilha contém o problema equacionado. Basta substituir os valores obtidos para  \(\alpha(x)\) e \(\beta(x)\), colocar a tensão entre as placas, corrente nas bobinas e tensão de aceleração, que você calcula a trajetória da partícula. Estude bem esta planilha. Este tipo de procedimento pode ser valioso em várias situações.

O nosso objetivo agora é calcular as trajetórias das partículas e fazer gráficos de \(h\) em função dos parâmetros estudados nas primeiras duas semanas do experimento. Para fazer os estudos referentes à primeira atividade (estudo do movimento em campo elétrico), basta fazer \(i=0\). Para a segunda atividade (movimento em campo magnético), \(V_{P}=0\).

Deste modo, as atividades são:

  1. Simule quais seriam os dados (gráficos) obtidos nas duas primeiras atividades do experimento, considerando os campos realistas. Simule vários pontos para cada gráfico e faça um gráfico ligando os pontos, como se fosse uma "função teórica". 
  2. Superponha estas curvas aos seus dados experimentais e compare-os. Se a curva estiver deslocada para cima ou para baixo, avalie se as tensões/correntes precisam ser ajustadas para superpor a curva aos dados. Discuta eventuais discrepâncias.
  3. Com base nesta simulação detalhada, discuta que as relações \(h_{E} = AV_{P}/V_{ac} \) e \(h_{B} = Ci/\sqrt{V_{ac}}\) são modelos precisos para descrever os movimentos ou apenas aproximações razoáveis, dadas as incertezas nas medidas experimentais.
  4. Faz diferença a posição na qual as bobinas são colocadas ao longo do eixo-x? Mude a posição das bobinas e avalie os resultados. Quão sensível é a posição final dos elétrons na tela do TRC em relação à posição das bobinas?

Última atualização: quinta-feira, 1 out. 2020, 14:18