Livro Equações de Maxwell
Equações de Maxwell. Origens, interpretações e base matemática.
5. Equações de Maxwell
5.2. Simetria de calibre
Uma vez que os campos elétrico \(\vec{E}\) e magnético $c\vec{B}$ satisfazem, individualmente, uma equação de onda, os respectivos potenciais também devem satisfazê-la. Para verificarmos, vamos substituir nas equações de Maxwell os campos pelos seus potenciais,
\begin{equation} \vec{E}=-\vec{\nabla}\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial(c\vec{A})}{\partial t},\quad \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. \end{equation}Como já usamos a segunda e a quarta das equações de Maxwell, resta para usarmos a quarta equação (verifique),
\begin{equation} \vec{\nabla}\times\vec{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}= \frac{1}{c^2}\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}- \nabla^{2}\vec{A}+ \vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)= 4\pi C_{m}\vec{J}, \end{equation}onde usamos $\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) - \nabla^{2}\vec{A}$. Este resultado pode ser reescrito numa forma mais elegante,
\begin{equation} \nabla^{2}\vec{A}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-4\pi C_{m}\vec{J}+\vec{\nabla}\left( \vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right). \quad (\ast) \end{equation}Da terceira equação de Maxwell, temos (verifique)
\begin{equation} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}= -\nabla^{2}\phi -\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}\cdot\vec{A}= 4\pi C_{e}\,\rho, \end{equation}ou, numa forma mais elegante,
\begin{equation} \nabla^{2}\phi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial t^{2}}=-4\pi C_{e}\,\rho-\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right), \quad (\ast\ast) \end{equation}onde somamos e subtraímos o termo contendo a derivada temporal do potencial escalar, para atingir a mesma estrutura do resultado anterior $(\ast)$, fornecido pela quarta equação de Maxwell. Estas são as equações de onda para os potenciais, na presença de cargas e correntes. E agora a justificativa do título desta seção. As equações de onda $(\ast)$ e $(\ast\ast)$ são invariantes perante as seguintes trocas de potenciais (verifique):
\begin{equation} \phi\to \phi-\frac{\partial\xi}{\partial t},\quad \vec{A}\to \vec{A}+\vec{\nabla}\xi. \end{equation}Esse fato é conhecido por simetria de calibre. O campo escalar $\xi$ é o "calibre". Esse fato deu origem a um feito ainda maior: teorias de calibre (gauge, na língua bárbara), as quais
apresentam um apelo matemático substancial.
Quer mais? Quem achar que o termo entre parêntese nas equações $(\ast)$ e $(\ast\ast)$ certamente perdeu a fé na Matemática e também nas equações de Maxwell. Como os potenciais podem ser "calibrados", isto é, permitem uma escolha, então podemos fazer uma escolha,
\begin{equation}\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0, \end{equation}conhecida por "calibre de Lorentz". Com esta escolha, as equações de onda para os potenciais simplificam,
\begin{equation} \nabla^{2}\vec{A}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial t^{2}}=-4\pi C_{m}\vec{J}, \quad (\ast) \end{equation}e
\begin{equation} \nabla^{2}\phi-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial t^{2}}=-4\pi C_{e}\,\rho. \quad (\ast\ast) \end{equation}Naturalmente, esta simetria de calibre também deixa invariante as relações entre os campos vetoriais e seus potenciais (verifique),
\begin{equation} \vec{E}=-\vec{\nabla}\phi-\frac{1}{c}\frac{\partial(c\vec{A})}{\partial t},\quad \vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}. \end{equation}Exercício. Elabore cuidadosamente as provas omitidas sob a etiqueta "verifique".