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1. Introdução

Os fenômenos elétricos e magnéticos são governados por leis conhecidas como "Equações de Maxwell". Cada uma destas leis é uma história à parte, unificadas em definitivo por Maxwell em 1861. Embora os efeitos elétricos, originários da existência de cargas elétricas, sejam aparentemente diferentes dos efeitos magnéticos, originários do movimento de cargas elétricas (e propriedades intrínsecas do mundo subatômico, quântico) foram unificados pelas equações de Maxwell. Um resultado notável desta unificação foi a revelação da luz como um fenômeno eletromagnético (e quântico). Outra característica surpreendente das equações de Maxwell é a íntima relação com a Relatividade Especial, estabelecida por Einstein em 1905. É nossa intenção expor aqui as equações de Maxwell, suas interpretações e relação com a Relatividade Especial, destacando as bases matemáticas.

Fatos:
  1. Existe carga elétrica, mas não existe carga magnética.
  2. A carga elétrica é quantizada, isto é, existe apenas como múltiplo inteiro da carga do elétron.
  3. Carga elétrica é conservada e existem dois tipos (positiva e negativa).
  4. A velocidade da luz é uma constante universal.
Equações de Maxwell (1861):
  1. Coulomb (1785): \(\displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=4\pi C_{e}\,\rho,\; C_{e}=1/4\pi\epsilon_{0}\).
  2. Ausência de carga magnética (1861): \(\displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0\).
  3. Ampère (1820): \(\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{B}=  +\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} + 4\pi C_{m}\vec{J},\; C_{m}=\mu_{0}/4\pi\).
  4. Faraday (1821): \(\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{E}=  -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\).
Definições. Os campos elétrico $\vec{E}$ e magnético $\vec{B}$ são definidos pelas forças que produzem numa carga teste $q$ (Lorentz-Maxwell): \(\displaystyle\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}\).

Quem é quem: Velocidade da luz: \(c^{2}=C_{e}/C_{m}=1/\epsilon_{0}\mu_{0}\), onde \(\epsilon_{0}\) é a constante elétrica (ou permissividade do vácuo) e \(\mu_{0}\) é a constante magnética (ou permeabilidade do vácuo). \(q\) é uma carga teste, \(\rho\) é a densidade de carga (por unidade de volume) da fonte e \(\vec{J}\) é a densidade de corrente (por unidade de área), a qual será definida mais adiante. A unidade de carga elétrica foi denominada de Coulomb (C). Carga elétrica em movimento é corrente elétrica, carga por unidade de tempo, cuja unidade é Ampere (A=C/s). Os vetores \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) são campos vetoriais, denominados de campo elétrico e campo magnético, respectivamente. Esses campos vetoriais são determinados por suas fontes, distribuições de cargas elétricas e correntes elétricas, de forma a satisfazerem as equações de Maxwell. Campos são funções conhecidas da posição e do tempo. Portanto, as equações de Maxwell estabelecem vínculos entres as taxas de variação (no espaço-tempo) das componentes dos campos vetoriais elétrico e magnético. Esses vínculos são equações diferenciais parciais (EDP) lineares. Como consequência, apenas duas entre as seis componentes destes campos vetoriais \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) serão independentes.

Tabela 1: equações de Maxwell.
Coulomb (1785) Sem carga magnética (1861) Ampère (1820)
Faraday (1821)
$\displaystyle\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=4\pi C_{e}\,\rho$ $\displaystyle\vec{\nabla}\cdot \vec{B}=0$ $\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{B}=  +\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} + 4\pi C_{m}\vec{J}$
$\displaystyle\vec{\nabla}\times\vec{E}=  -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$
Tabela 2: constantes universais.
permissividade
permeabilidade
\(\displaystyle c^2=\frac{C_{e}}{C_{m}}=\frac{1}{\epsilon_{0}\mu_{0}}\)
carga elétrica
\(\epsilon_{0}=8,854\, 187\, 817\, 10^{-12}\; \frac{C^{2}}{N\,m^{2}}\)
\(\mu_{0}=1,256\, 637\, 062\, 10^{-6}\; \frac{N\, s^{2}}{C^{2}}\)
\(c=299\, 792\, 458,0\; \frac{m}{s}\)
\(e=1,602\, 176\, 634\, 10^{-19}\; C\)


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