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5. Equações de Maxwell

5.1. Onda eletromagnética

Maxwell mostrou que luz é uma onda eletromagnética e que pode se propagar no vácuo (algo inaceitável para a época, pois acreditava-se que toda onda precisava de um meio para se propagar). Para tal, Maxwell considerou suas equações no vácuo (ausência de cargas elétricas, \(\rho=0\), e de correntes, $\vec{J}=0$):

\begin{equation} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0,\quad \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0,\quad \vec{\nabla}\times\vec{B}= +\frac{C_{m}}{C_{e}}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t},\quad \vec{\nabla}\times\vec{E}= -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}. \end{equation}

Maxwell, inicialmente, usou as constantes $C_{e}$ (elétrica) e $C_{m}$ (magnética). Tomemos o rotacional das duas últimas equações,

\begin{equation} \vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\times\vec{B} =\frac{C_{m}}{C_{e}} \vec{\nabla}\times\left(\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right)= \frac{C_{m}}{C_{e}}\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}\times\vec{E},\quad \vec{\nabla}\times\vec{\nabla}\times\vec{E} = \vec{\nabla}\times\left(-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}\times\vec{B}, \end{equation}

onde pressupomos que os campos sejam suáveis, e as simplifiquemos usando $\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{A}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}) - \nabla^{2}\vec{A}$, bem como as duas primeiras equações de Maxwell (divergência nula),

\begin{equation} -\nabla^{2}\vec{B}= \frac{C_{m}}{C_{e}}\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}\times\vec{E},\quad -\nabla^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\vec{\nabla}\times\vec{B}. \end{equation}

Agora usemos novamente as duas últimas equações de Maxwell para substituir os rotacionais por derivadas temporais (e desacoplar as equações),

\begin{equation} \left(\nabla^{2} -\frac{C_{m}}{C_{e}}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\{\vec{E}\,\text{ou}\,\vec{B}\}=0. \end{equation}

Esta equação diferencial parcial satisfeita pelos campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ é conhecida por equação de onda (no vácuo),

\begin{equation} \left(\nabla^{2} -\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\psi=0, \end{equation}

onde $v$ é a velocidade de propagação da onda $\psi$. Assim, Maxwell imediatamente identificou que os campos eletromagnéticos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ satisfazem a mesma equação de onda, com a velocidade $v^2=C_{e}/C_{m}$, cujo valor coincidia com o valor da velocidade da luz na época. Maxwell não teve dúvidas: luz é uma onda eletromagnética e, pasmem, propaga-se no vácuo! As implicações conceituais e tecnológicas foram dantescas.


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