Anterior
Próximo

3. Campo Magnético

3.1. Carga magnética

 Campo. Suponha que, além da carga elétrica \(Q_{e}\), exista também a carga magnética $Q_{m}$, como fonte de um campo magnético obedecendo a lei de Coulomb (no vazio),

\begin{equation} \vec{B}=C_{m}\frac{Q_{m}}{r^{2}}\hat{r}=C_{m}Q_{m}\frac{\vec{r}}{r^{3}} = -C_{m}Q_{m}\vec{\nabla}\frac{1}{r},\; r\neq 0, \end{equation}

onde $C_{m}=\mu_{0}/4\pi$ é a constante magnética, tal que $C_{e}/C_{m}=1/\mu_{0}\epsilon_{0}=c^2$, sendo $C_{e}=1/4\pi\epsilon_{0}$ a constante elétrica e $c$ a velocidade da luz no vácuo ($\epsilon_{0}$ é a permissividade e $\mu_{0}$ é a permeabilidade do vácuo). Como no caso elétrico, o divergente do campo identifica sua fonte (neste caso, uma carga pontual),

\begin{equation} \vec{\nabla}\cdot\vec{B}= C_{m}Q_{m}\nabla^{2}\frac{1}{r}= 4\pi C_{m}\, Q_{m}\,\delta(r)=4\pi C_{m}\,\rho_{m}, \end{equation}

onde usamos a distribuição delta de Dirac (3D), introduzida no Apêndice 5.3, a qual nos permite definir uma "densidade'' $\rho_{m}=Q_{m}\,\delta(r)$ para uma carga pontual $Q$. Vale o mesmo para o campo elétrico.

 Fluxo. O fluxo $\phi$ deste campo magnético produzido por uma carga pontual, com simetria radial, é calculado facilmente usando uma superfície esférica $S^{1}$ centrada na origem,

\begin{equation} \phi=\int\limits_{S^{1}} \vec{B}\cdot d\vec{a} = 4\pi C_{m}\,Q_{m},\quad d\vec{a}=dA\,\hat{r}, \end{equation}

ou então usando o teorema de Gauss (veja o Apêndice 5.2),

\begin{equation} \phi=\int\limits_{S^{1}} \vec{B}\cdot d\vec{a} = \int\limits_{S^{2}} \vec{\nabla}\cdot\vec{B}\, dV = 4\pi C_{m}\,Q_{m}, \end{equation}

onde $S^{2}$ é a esfera contendo a superfície esférica $S^{1}$ como borda e escrevemos o divergente do campo magnético em termos da delta de Dirac. Vale o mesmo para o campo elétrico.

 Potencial. Supondo a existência desta carga magnética, quem será o potencial vetor $\vec{A}$ que dará origem ao campo magnético $\vec{B}$? Não podemos mais usar a relação $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$, onde $\vec{A}$ é o potencial vetor, pois $\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}\times\vec{A}=0$ fornece um fluxo nulo, sempre. Uma contradição como esta é fruto típico da "árvore" de singularidades e indica que o potencial vetor desse campo magnético deve ser irregular, singular em alguma região. Como o campo magnético possui simetria esférica (ou radial), esperamos que forma do potencial vetor deve apresentar também algum tipo de simetria, além de uma irregularidade. Dirac escolheu um potencial azimutal (simetria em torno do eixo Z),

\begin{equation} \vec{A} = A_{\phi}\,\hat{e}_{\phi}. \end{equation}

Justificativas? Talvez Pauli pudesse tê-las enunciadas. Dirac não precisa delas. Com esta escolha,

\begin{align} \vec{\nabla}\times\vec{A}&= \frac{1}{r}\left(A_{\phi}\frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{\partial A_{\phi}}{\partial\theta}\right)\,\hat{e}_{r} - \left(\frac{A_{\phi}}{r} + \frac{\partial A_{\phi}}{\partial r}\right)\,\hat{e}_{\theta} \\&= -\frac{\partial A_{\phi}}{\partial z}\,\hat{e}_{\rho} + \left(\frac{A_{\phi}}{r} + \frac{\partial A_{\phi}}{\partial\rho}\right)\,\hat{e}_{k}, \end{align}

em coordenadas esféricas e cilíndricas, respectivamente (verifique). Requerendo que $\vec{\nabla}\times\vec{A}=\vec{B}$, então temos duas equações diferenciais (verifique) para resolver, cuja solução geral é (verifique)

\begin{equation} A_{\phi} = C_{m}Q_{m}\frac{f(\phi)-\cos\theta}{r\sin\theta} \end{equation}

para as coordenadas esféricas, e

\begin{equation} A_{\phi} = \frac{C_{m}Q_{m}}{\rho}\left( f(\phi) - \frac{z}{\sqrt{\rho^{2}+z^{2}}} \right) \end{equation}

para as coordenadas cilíndricas, onde $f(\phi)$ é uma função arbitrária. Que critérios (adicionais) poderíamos usar para determinar esta função arbitrária? Se ela for $f=\pm 1$, o potencial apresenta uma irregularidade (diverge) nos semi-eixos $\rho=0$ ($r=|z|$), $z>0$ ($\theta=0$) e $z<0$ ($\theta=\pi$), respectivamente. As coordenadas cilíndricas parecem mais adequadas para percebermos tais irregularidades (verifique).

 Exercício 1. Detalhe cuidadosamente cada uma das situações especificados por "verifique".


Anterior
Próximo