Metodos Matematicos da Fisica

Unidades de medida são importantes e indispensáveis. De forma geral, procuraremos expressar todas as nossas quantidades em unidades derivadas de quatro grandezas fundamentais: comprimento (L), tempo (T), massa (M) e carga elétrica (Q). Em processos de medidas, estas grandezas são conhecidas também por dimensões. Em geral, falaremos da análise dimensional de uma determinada quantidade. Vários sistemas de medidas foram criados para expressar a intensidade de cada uma destas quatro dimensões fundamentais. Usaremos com mais frequência o Sistema Internacional (SI ou MKS), onde comprimento é medido em metros (m), tempo em segundos (s), massa em kilogramas (kg) e carga elétrica em Coulombs (C).

Existe um procedimento padrão para analisarmos as dimensões de uma determinada quantidade de interesse: uma equação com o lado esquerdo expressando a quantidade \(B\) a ser analisada, via a notação \([B]\), e um lado direito contendo apenas as operações de multiplicação e potenciação envolvendo as dimensões L, T, M e Q. Vejamos alguns exemplos.

O vetor posição \(\vec{r}\) tem dimensão de comprimento (L). Escrevemos matematicamente esta informação como
\begin{equation}
  [\vec{r}]=\text{L}.
\end{equation}
O vetor velocidade tem dimensões de comprimento por tempo,
\begin{equation}
  [\vec{v}]=\biggl[\frac{d\vec{r}}{dt}\biggr] =
  \frac{\text{L}}{\text{T}}= \text{LT}^{-1}.
\end{equation}
O vetor aceleração tem dimensões de comprimento por tempo ao quadrado,
\begin{equation}
  [\vec{a}]=\biggl[\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}\biggr] =
  \frac{\text{L}}{\text{T}^{2}}=\text{LT}^{-2}.
\end{equation}

As dimensões do momentum linear são
\begin{equation}
  [\vec{p}]=\bigl[m\vec{v}\bigr] = \frac{\text{ML}}{\text{T}}=
  \text{MLT}^{-1}.
\end{equation}
Seguindo estes exemplos, a análise dimensional do vetor força na segunda lei de Newton (massa constante) nos fornece
\begin{equation}
  [\vec{F}]=\bigl[m\vec{a}\bigr] = \frac{\text{ML}}{\text{T}^{2}}=
  \text{MLT}^{-2} \text{(Newton)}.
\end{equation}
Newton é a unidade de força no sistema MKS.

Quais são as dimensões da constante \(C_{e}\) aparecendo na expressão para a força elétrica (lei de Coulomb)
\begin{equation}
  \label{eq:Coulomb2}
  \vec{F}_{e}=C_{e}\frac{Qq}{r^{2}}\hat{r}
\end{equation}
entre duas cargas elétricas \(Q\) e \(q\) separadas pela distância \(r\)? Seguindo o modelo anterior, temos
\begin{equation}
  \label{eq:aCe}
  [C_{e}]=\text{NL}^{2}\text{Q}^{-2}=\text{ML}^{3}\text{T}^{-2}\text{Q}^{-2}.
\end{equation}

Por completeza, devemos mencionar que cargas magnéticas nunca foram observadas. No entanto quando dois fios conduzindo correntes elétricas \(I_{1}\) e \(I_{2}\) estão a uma distância \(\rho\), podemos medir uma força por unidade de comprimento entre eles,
\begin{equation}
  \label{eq:BiotSavat}
  \vec{f}_{m}=2C_{m}\frac{I_{1}I_{2}}{\rho}\hat{\rho}.
\end{equation}
Esta força é conhecida como lei de Biot-Savat. Usando a definição de corrente, carga por tempo, temos
\begin{equation}
  \label{eq:aI}
  [I]=\biggl[\frac{dQ}{dt}\biggr] = \text{QT}^{-1}.
\end{equation}
Assim, as dimensões da constante \(C_{m}\) são
\begin{equation}
  \label{eq:aCm}
  [C_{m}]=\text{NT}^{2}\text{Q}^{-2}=\text{MLQ}^{-2}.
\end{equation}
Podemos notar também então que a razão \(C_{e}/C_{m}\) tem a mesma dimensão de velocidade ao quadrado. De fato, Maxwell mostrou que no vácuo, a velocidade da luz (onda eletromagnética) é
\begin{equation}
  \label{eq:veluz}
  c=\sqrt{\frac{C_{e}}{C_{m}}}.
\end{equation}
Os valores destas constantes (no vácuo) são: \(C_{e}=8.987\,551\,788\times 10^{9}\) N\(\cdot\)m\(^{2}\)/C\(^{2}\) e \(C_{m}=10^{-7}\) N\(\cdot\)s\(^{2}\)/C\(^{2}\). Portanto, medindo as constantes \(C_{e}\) e \(C_{m}\) podemos calcular a velocidade da luz. Este resultado está entre os mais surpreendentes acerca da nossa natureza. As surpresas não param aqui, há ainda um fato ainda mais marcante sobre o comportamento da luz: ela é um limite superior para a velocidade de qualquer quantidade em movimento. No presente tempo, conseguimos dar uma velocidade próxima à da luz (98%) apenas para partículas sub-atômicas como o elétron.

A força de Lorentz,
\begin{equation}
  \label{eq:db}
  \vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B},
\end{equation}
produzida por uma carga \(q\) em movimento com uma velocidade \(\vec{v}\) em um campo magnético \(\vec{B}\), é responsável por trajetórias helicoidais. As dimensões do campo magnético \(\vec{B}\) são
\begin{equation}
  \label{eq:db2}
  [\vec{B}]=\biggl[\frac{||\vec{F}||}{q||\vec{v}||}\biggr] =
  \text{MQ}^{-1}\text{T}^{-1} \text{(Tesla)}.
\end{equation}