Metodos Matematicos da Fisica

 Uma característica importante deste campo elétrico é ser conservativo. Por definição, um campo conservativo tem sua integral de caminho nula num caminho fechado \(C\),

\(\displaystyle \oint\limits_{C} \vec{E}\cdot  d\vec{r}=0\).

Há várias formas de demonstrar este resultado, todas tendo a simetria esférica (ou radial) do campo elétrico como base. Essencialmente, a projeção do campo elétrico ao longo do caminho escolhido sempre terá elementos de sinais opostos, na ida e na volta, num caminho fechado. Se convença disso fazendo alguns esboços no plano. Consequentemente, a força elétrica também será conservativa. A integral de caminho da força é o trabalho mecânico (troca de energia). Uma força conservativa leva à conservação da energia mecânica, um escalar que se mantém constante durante o movimento.

 Do ponto de vista matemático, a condição de campo conservativo leva imediatamente à existência de um campo escalar \(\phi\) cujo gradiente é proporcional a este campo,

\(\displaystyle \vec{E}=-\vec{\nabla}\phi\).

Este campo escalar é denominado, por razões históricas, de "potencial escalar". Note que, do cálculo de várias variáveis, a diferencial do potencial escalar é \(d\phi=\vec{\nabla}\phi\cdot d\vec{r}\). Substituindo esta diferencial na condição de campo conservativo, teremos

\(\displaystyle \oint\limits_{C} \vec{E}\cdot  d\vec{r}= -\oint\limits_{C}\vec{\nabla}\phi\cdot  d\vec{r}= -\oint\limits_{C} d\phi=0\).

A última igualdade (igual a zero) é consequência do ponto inicial da curva fechada \(C\) ser idêntico ao ponto final. Portanto, todo campo vetorial conservativo é "derivado" (via gradiente) de um campo escalar e vice-versa. O sinal negativo na frente do gradiente na introdução do potencial escalar é por mera conveniência.

 Unidades e dimensões. As dimensões de potencial elétrico são as mesmas de campo elétrico vezes comprimento,

\(\displaystyle [\phi]=[\vec{E}\cdot d\vec{r}]=\frac{ML^{3}}{QT^{2}},\quad \text{(SI):}\; \frac{Nm}{C}=\frac{J}{C}=V\).

Consequentemente, as unidades de potencial elétrico no sistema internacional (SI) são as mesmas de energia (Joule) por carga, rebatizada de Volt (V) em homenagem a Alessandro Volta (1799), inventor das baterias modernas. O Volt tem um papel fundamental nas aplicações tecnológicas (eletrônica) do eletromagnetismo.

 Considerando o campo elétrico criado por uma carga pontual, o potencial escalar associado é imediato,

\(\displaystyle \phi(r)=C_{e}\frac{Q}{r}\).

Basta escrever o gradiente em coordenadas esféricas e lembrar que o potencial escalar de uma carga pontual depende apenas da distância radial. A extensão para uma distribuição de cargas se faz da forma feita para o campo elétrico. Novamente, por mais interessante que seja este exercício de calcular o potencial escalar diretamente por integração múltipla, obteremos o potencial escalar integrando (de forma indefinida) o campo elétrico,

\(\displaystyle \phi=-\int \vec{E}\cdot d\vec{r}\).

Desta forma, o potencial escalar estará definida a menos de uma constante arbitrária, a qual poderá ser escolhida por conveniência, por exemplo escolhendo o valor do potencial numa determinada posição. Aplicando este procedimento para o caso de uma carga pontual, a expressão acima para o potencial escalar desta carga pontual teve sua constante arbitrária escolhida com o valor zero em \(r\to\infty\).

Exercício 1. Mostre que a diferencial do campo escalar \(\phi=\phi(x,y,z)\) é a projeção de seu gradiente na direção do deslocamento infinitesimal \(d\vec{r}=dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}+dz\,\hat{k}\) (num sistema ortonormal cartesiano de coordenadas). Sugestões: use a definição de diferencial,

\(\displaystyle d\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x}dx+ \frac{\partial\phi}{\partial y}dy+ \frac{\partial\phi}{\partial z}dz\),

e reescreva-o em termos de um produto escalar. Use o gradiente em coordenadas cartesianas (veja o apêndice sobre o gradiente).

Exercício 2. Calcule o potencial elétrico produzido por um próton a uma distância de 0.5 Å (um Angstrom Å equivale a \(10^{-10}\) m). Resposta: \(28.797\) V.

Exercício 3. Verifique que o potencial de uma carga pontual é de fato dado pela integral indefinida de seu campo elétrico,

\(\displaystyle \phi=-\int \vec{E}\cdot d\vec{r},\quad \vec{E}=C_{e}\frac{Q}{r^2}\hat{r}\),

escolhendo a constante de integração de forma a zerar o potencial numa região muito distante (\(r\to\infty\)).