Metodos Matematicos da Fisica

 O campo elétrico \(\vec{E}\) é responsável pela força elétrica entre cargas elétricas, descoberta por Coulomb em 1785. Postula-se hoje a existência de cargas elétricas, de dois tipos (positiva e negativa), com valores (absolutos) sempre como múltiplos inteiros da carga eletrônica (em módulo), e conservadas. Estas cargas elétricas estão presentes em elétrons e prótons, constituintes de átomos (juntamente com nêutrons, que não possuem cargas elétricas). Por razões históricas, o próton tem carga positiva e o elétron tem carga negativa. Ambos, próton e elétron, têm a mesma intensidade da carga (\(e=1,602\, 10^{-19}\; C\)). Dado a carga fonte (pontual, por simplicidade) \(Q\), esta cria um campo vetorial

\(\displaystyle\vec{E}=C_{e}\frac{Q}{r^2}\hat{r},\; C_{e}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}},\; \epsilon_{0}=8,854\times 10^{-12}\;        \frac{\text{C}^{2}}{\text{N}\text{m}^{2}}\;\text{(SI)}\), 

denominado de "campo elétrico". Note que estamos usando coordenadas esféricas, devido à simetria esférica deste campo vetorial: ele é sempre radial e seu módulo é o mesmo sobre a casca esférica de raio \(r\). Este campo produz uma força (newtoniana) na carga teste \(q\),

\(\vec{F}=q\vec{E}\).

Esta é a força elétrica, foi descoberta por Coulomb em 1785. A força elétrica é a resposta à pergunta: o que faz um campo elétrico? Ele cria uma força (mensurável) numa carga teste. Os campos elétrico e gravitacional são muito semelhantes, assim como as forças elétrica e gravitacional. Uma diferença é a não existência de dois tipos de cargas gravitacional (somente positiva). A maior diferença é a não existência de cargas gravitacionais. A força gravitacional é uma consequência da curvatura do espaço-tempo, como mostrou Einstein em sua teoria da Relatividade Geral. A Figura ao lado ilustra a interação coulombiana entre duas cagas pontuais.

 Dimensões e unidades. As dimensões de campo elétrico são as mesmas de força por carga,

\(\displaystyle [E]=[F/q]=\frac{ML^{2}}{QT^{2}},\quad \text{(SI):}\; \frac{N}{C}\equiv\frac{V}{m}\).

Consequentemente, as unidades de campo elétrico no sistema internacional (SI) são as mesmas unidade de força (Newton) por distância (metro), rebatizadas de Volt por metro, como mostrado acima. O Volt é uma homenagem a Alessandro Volta (1799), inventor das modernas baterias elétricas.

 Como calcular o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas? Havendo várias cargas fontes, \(Q_{i}\), \(i\leq N\), o campo elétrico resultante será a soma vetorial de cada campo elétrico individual,

\(\displaystyle\vec{E}=\sum_{i=1}^{N}\vec{E}_{i}= C_{e}\sum_{i=1}^{N}\frac{Q_{i}}{r_{i}^2}\hat{r}_{i}\).

Isto é possível porque a carga fonte entra de forma linear na definição do campo elétrico (dada acima). Ao invés de cargas pontuais como fontes, poderemos ter uma distribuição de cargas comm uma carga total \(Q\). O primeiro passo é admitir que esta distribuição de cargas seja contínua, mesmo sabendo que cargas elétricas existem somente como múltiplos da carga eletrônica. Esta distribuição precisa ser especificada pela sua densidade \(\rho=\rho(x,y,z,t)\) (carga por unidade de volume), um campo escalar,

\(\displaystyle Q=\int \rho dq,\; \rho=\frac{dq}{dV}\),

onde \(dq\) é o elemento de carga que ocupa o elemento de volume \(dV\). Assim, com base na definição, o campo elétrico resultante é

\(\displaystyle \vec{E}=C_{e}\int\limits_{V} \frac{\rho(\vec{r}')dV´}{r'^{2}}\hat{r}'\).

A integral é feita apenas na região contendo cargas. Por mais interessante que seja este exercício de integração múltipla, usaremos uma outra forma, bem mais simples (devida à Gauss), de calcular o campo elétrico de uma distribuição de cargas. A restrição é que tais distribuições precisam apresentar formas simétricas.

Exercício 1. Calcule a intensidade (módulo) do campo elétrico produzido por um próton a uma distância de 0.5 Å (um Angstrom Å equivale a \(10^{-10}\) m). Resposta: \(5.759\,10^{11}\) V/m.

Exercício 2. Calcule a intensidade (módulo) da força elétrica entre um próton e um elétron separados por 0.5 Å. Resposta: \(9.226\,10^{-8}\) N.