Metodos Matematicos da Fisica

A função tangente hiperbólica \begin{equation} \label{eq:tgh} Z_{N}(n)=a\tanh(bn-c)+d, \end{equation} tem duas características desejáveis em qualquer curva descrevendo casos de infecção por Covid-19 acumulados ao longo do número de dias \(n\): ela possui platôs no início e no final e possui (apenas) um ponto de inflexão em $i_{p}=c/b$ (onde a concavidade muda de orientação). O platô final representa a estabilização dos casos de contaminação acumulados. A ordem de grandeza dos casos acumulados em $N$ dias é dada pelo parâmetro $a$ (ou $d=Z(i_{p})$). A sua amplitude é $2a$ (ou $2d$). A inclinação desta curva é controlada pela reta $bn-c$, onde o parâmetro $b$ é o coeficiente angular desta reta.

A Figura 1 mostra uma curva típica exibindo o platô inicial (parte vermelha), o ponto de inflexão (ponto verde, $i_{p}=16.48$) e o platô final (parte azul). A ordem de grandeza dos casos acumulados em 30 dias é de 8000. A inclinação desta curva é dada pela reta $0.170n-2.807$, mostrada como uma curva tracejada na Figura 1.

Esta curva fornece também duas importantes taxas de crescimento: a rapidez (ou velocidade) e a aceleração, designadas por $V(n)$ e $A(n)$, respectivamente,
\begin{equation}
  \label{eq:va}
  V(n)=\frac{dZ}{dn}=ab\,\mathrm{sech}^{2}(bn-c),\quad
  A(n)=\frac{dV}{dn}=-\frac{2b}{a}(Z(n)-d)V(n).
\end{equation}
No ponto de inflexão $i_{p}$, a rapidez é máxima, $V(i_{p})=ab$, e a aceleração é nula, $A(i_{p})=0$. A partir do ponto de inflexão a aceleração é negativa, fazendo com que a rapidez diminua até atingir a estabilização, como ilustrado na Figura 2. A velocidade será sempre positiva, enquanto a aceleração será positiva no início e negativa no final (porção abaixo da linha tracejada na Figura 2). Em geral, a aceleração sempre terá uma intensidade menor que a velocidade. Quando rapidez e aceleração forem praticamente nulas em ambos os lados do ponto de inflexão, como ilustrado na Figura 2, diremos que tais taxas são funções completas. Assim, as taxas de crescimento devem ser completas na condição de estabilização.

Tab. 1: função modelo.

Fig. 1: Casos acumulados.	Fig. 2: taxas de crescimento.

Múltiplas ondas. Quando há contribuições de mais de uma onda de infecção, os dados de casos acumulados são descritos por uma superposição linear de tangentes hiperbólicas, \begin{equation} \label{eq:mf} Z_{N}(n)=\sum\limits_{i=1}^{l}a_{i}\tanh(b_{i}n-c_{i})+d. \end{equation}

As respectivas taxas de crescimento são \begin{equation}V(n)=\frac{dZ}{dn}=\sum\limits_{i=1}^{l}\frac{a_{i}b_{i}}{\cosh^{2}(b_{i}n-c_{i})},\end{equation} e \begin{equation}A(n)=\frac{dV}{dn}=-2\sum\limits_{i=1}^{l}a_{i}^{2}b_{i} \frac{\sinh(b_{i}n-c_{i})}{\cosh^{3}(b_{i}n-c_{i})}, \end{equation} Agora teremos múltiplos pontos de inflexão $i_{p}$ caracterizados por uma aceleração nula, prestes a se tornar negativa e uma rapidez em um de seus máximos (local). Cada ponto de inflexão pertence a uma onda. A aceleração também se anula nos pontos de junção de duas ondas. Nestes pontos de junção, a rapidez estará em um de seus mínimos e a aceleração prestes a se tornar positiva (perigo).