Diagrama de temas
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Segue a lista de tópicos (em inglês) da versão 2019 da matéria. Pretendo ajustar ao longo do semestre de acordo com os interesses da turma.
1 - Linear and nonlinear systems. Representations: time and frequency domain, state-space, discrete and continuous models, hybrid and switched systems, input-output convolution models, systems governed by partial derivative equations, systems with delays. Existence and uniqueness of solutions - counterexamples.
2 - Equilibrium points, linearization, the phase-plane method. Classification of 2nd ordem systems. Trajectories in phase plane: computer solutions and graphic visualization.
3 - Stability. Stability analysis, local, global, and asymptotic stability according to Lyapunov. Lyapunov functions. Directional and Lie derivatives. Motivation: energy, distance with respect to equilibrium. Sufficient conditions for stability. Necessity of conditions. Construction of Lyapunov functions. The linear case in detail - matrix equations, definite matrices.
Additional topic: Design of feedback controllers using control Lyapunov functions - the Artstein-Sontag Theorem (Reference: original papers). Simulation and tests.
4 - Harmonic linearization. The describing function method (Reference: Ogata, Modern Control Engineering, 1st edition, 1970). Quantifying oscillations with the Nyquist diagram.
5 - Switched systems. Stability conditions. Lie brackets and commutation. Variable structure control systems and sliding modes. Switching surfaces. Advantages and drawbacks of the method. Robustness, application to linear and nonlinear systems, simulations.
6 - Adaptive control. Direct and indirect control. System identification and the certainty-equivalence principle. Gradient-type estimators, Lyapunov analysis, singularities and loss of detectability. Stability analysis of simple systems (Reference: instructor's lecture notes).
7 - Model predictive control. Discussion of main ideas, relationship with optimization and other topics studied in this and other courses.
Main textbook: Slotine, J.J. E. e Li, W. (1991) Applied Nonlinear Control, Prentice-Hall, Inc, Upper Saddle River -
Introdução. Sistemas lineares e não-lineares.
Representações: diagramas de blocos, domínio da frequência, espaço de estados. Outros modelos: discretos, máquinas de estados, híbridos, chaveados, entrada-saída (convolução), equações com derivadas parciais, atrasos.
Inexistência e não-unicidade de soluções para equações não-lineares simples.
Lecture 1 do Professor Pates: https://canvas.education.lu.se/courses/8502/assignments/36441?module_item_id=199299
Disponíveis no YouTube, vídeos 1 a 7:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLBYGwR1BU9CFZarhZnAn3wkMdf4FsmJdDTópico 1 do Professor Piqueira: https://edisciplinas.usp.br/course/view.php?id=79928#section-1
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Pontos de equilíbrio, linearização, plano de fase. Comportamentos de sistemas lineares de 2a ordem; classificação dependendo das partes real e imaginária dos autovalores.
Trajetórias no plano de fase: solução numérica usando computador.
Na 3a edição do livro Nonlinear Systems, de Hassan Khalil, as situações possíveis são discutidas no Capítulo 2, Seção 2.1, páginas 37 a 46. No livro Applied Nonlinear Control, de Slotine & Li, o assunto é tratado no Capítulo 2, Seção 2.4, Phase Plane Analysis of Linear Systems, páginas 30 a 36.
Lecture 2 de Lund, sobre retratos no plano de fase (acesso não mais disponível, vejam link abaixo): https://canvas.education.lu.se/courses/8502/assignments/36442?module_item_id=206158
Vídeos 8 a 14 do prof Pates no YouTube: https://www.youtube.com/playlist?list=PLBYGwR1BU9CFZarhZnAn3wkMdf4FsmJdD
Assistam os vídeos que forem úteis para ter uma boa compreensão do assunto - não julgo necessário ver tudo, a menos que estejam aproveitando.
Demo em Mathematica que mostrei na aula:
https://demonstrations.wolfram.com/PhasePortraitsEigenvectorsAndEigenvalues/
(exige Wolfram Player, não necessariamente a instalação completa do Mathematica - programa com licença disponível para a USP, porém mais avançado)
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Análise de estabilidade. Estabilidade e estabilidade assintótica segundo Lyapunov.
Funções de Lyapunov. Derivada ao longo das trajetórias. Motivação: energia, distância em relação ao ponto de equilíbrio.
Condição suficiente para estabilidade. Será necessária? Como buscar funções de Lyapunov?
Caso linear: matrizes positivas-definidas.
Aulas de Lund: https://www.youtube.com/playlist?list=PLBYGwR1BU9CFZarhZnAn3wkMdf4FsmJdD
17 Stability definitions;
22 What is a Lyapunov function
23 The Lyapunov stability theorem
24 An example using the Lyapunov stability theorem
25 Stability of linearisations using Lyapunov functions
Discutimos boa parte do material das aulas anteriores de forma resumida, que me parece apropriada para nossa matéria, então podemos pular vídeos intermediários, que tratam de linearização. A parte sobre análise de Lyapunov é importante, os vídeos acima valem a atenção.
No Slotine, Capítulo 3, páginas 40 a 95 (podem pular a Seção 3.5). No Khalil, Capítulo 4, Seções 4.1 e 4.3, páginas 111 a 126, e 133 a 144 (pular invariância de La Salle, e toda a parte sobre sistemas variantes no tempo). Escolham a referência que preferem; o Khalil é mais preciso, com mais detalhes matemáticos, pulem o que parecer excessivo.
Outro assunto: modelos SIR. Sugiro o completo artigo na Wikipedia. A simulação de um modelo SIR padrão seria muito instrutiva. Há espaço para aperfeiçoar os modelos, por exemplo introduzindo uma variável de estado Q, representando as pessoas não expostas.
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1 - Uso de funções de Lyapunov para projeto de controladores, control-Lyapunov functions e Teorema de Artstein-Sontag. Artigo do Eduardo Sontag disponível na USP, subi aqui no Moodle.
Sontag, ED. “A ‘universal’ Construction of Artstein’ s Theorem on Nonlinear Stabilization,” Systems & Control Letters 13, no. 2 (1989): 117–23.
2 - Linearização por realimentação. Capítulo 6 do Slotine - o Capítulo 13 do Khalil faz um tratamento mais avançado. Na minha opinião, o item 1 é mais simples e profundo. Vamos manter em mente.
Uma linha de estudo instrutiva é tomar algum exemplo de sistema com 1 entrada (dimensão de u igual a 1) e 2 ou 3 estados (dimensão de x igual a 2 ou 3). Escolher uma função de Lyapunov candidata e supor que é uma CLF, daí computar a realimentação u = k(x) segundo a construção explícita que vimos na aula. Caso seja possível achar o controle, simular o sistema com a realimentação projetada, e plotar soluções em função do tempo para condições iniciais de interesse, ou no plano de fase.
Os capítulos citados dos livros podem servir para fornecer exemplos. Não olhamos para linearização por realimentação, que na minha opinião é bizuleu (ainda se usa essa gíria?).
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Controle adaptativo e identificação de sistemas. Referências: notas de aula no Moodle, livro do Slotine. Assim que a turma tiver lido, fazemos 2 aulas expositivas. Depois, é mais 1 tema recomendado para simulação. Leiam, acho útil!
(Acho que não vamos falar em controle preditivo esse ano, mas deixo aqui a anotação.)
Dia 20 outubro falamos sobre as ideias gerais de controle adaptativo. Nas próximas aulas vamos tornar o assunto mais concreto, estudando a estabilização adaptativa de sistemas de dimensão 1 através de controle proporcional. Esse caso simples basta para explicar as ideias e as dificuldades de projetar controles adaptativos.
Minha ideia é conduzir vocês a uma reconstrução da teoria, para virarem donos das ideias. Para isso, uma leitura preliminar das notas de aula é fundamental - é mais difícil fazermos isso no ambiente virtual. Mas é importante - como acabo de escrever para um colega, só se entende controle clássico (os 3 mosqueteiros) estudando problemas de controle adaptativo.
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Linearização harmônica e método da função descritiva. Referência: Slotine, e também vídeos de Lund. Não garanto que vamos cobrir.
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Modelos epidemiológicos SIR e extensão SQVIR. Referência inicial: Wikipedia. A bola está com vocês.
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Otimização direta sem derivadas - o método do baricentro. Discutimos em aula. Tema recomendado para simulação! Qualquer dúvida, as aulas estão abertas para perguntas.
Uma discussão sobre controle preditivo até que poderia ser encaixada aqui, mas já temos bastante assunto até o final das aulas.
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Controle com estrutura variável (VSS), modos deslizantes (sliding modes). Superfícies de chaveamento.
Vimos os conceitos básicos de projeto, discutimos as vantagens e desvantagens do método, aplicável para sistemas lineares e não-lineares.