Kursthemen
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Neste primeiro tópico de nosso curso, apresentamos uma revisão das principais técnicas de integração, que serão úteis no estudo de integral de Riemann.
Reservamos as aulas desta semana (16 a 20 de agosto) para fazer esta revisão.
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Neste tópico, apresentamos o conceito de integral de Riemann e algumas propriedades que garantem a integrabilidade de uma função.
Este tópico e o tópico 4 estão previstos para a semana de 23 a 27 de agosto.
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Neste tópico, apresentamos os dois Teoremas Fundamentais do Cálculo, que se referem à integral de uma função contínua definida num intervalo fechado e limitado [a,b].
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Apresentamos algumas observações importantes no cálculo de uma integral definida através de três exemplos.
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O chamado Teorema de Mudança de Variável formaliza as observações que fizemos sobre a Lista 3.
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A lista 4 versa sobre cálculo de áreas com a utilização da integral de Riemann.
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Neste tópico, veremos propriedades de continuidade e diferenciabilidade de funções definidas por integral de uma outra função.
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Neste tópico, veremos como é possível utilizar a integral de Riemann para calcular o volume de alguns sólidos, como os chamados sólidos de rotação ou de revolução: são aqueles sólidos obtidos por rotação de uma região plana em torno de um eixo.
Apesar da grande quantidade de itens neste tópico, boa parte deles se refere a exemplos e exercícios para ilustrar a situação considerada.
Os tópicos 5 e 6 estão previstos para a semana de 30 de agosto a 3 de setembro.
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Neste tópico, estudaremos as chamadas integrais impróprias, que permitem calcular a integral de uma função cujo domínio é um intervalo infinito ou de uma função ilimitada.
Nos três primeiros itens, definimos e calculamos algumas dessas integrais. Nos demais itens, estudamos critérios que permitem concluir sobre a sua convergência ou divergência.
Este tópico preenche a semana de 6 a 10 de setembro.
A primeira prova de nosso curso será no dia 20 de setembro e versará sobre a matéria até este tópico: integral de Riemann, aplicações da integral para o cálculo de áreas e volumes, função definida por integral e integrais impróprias.
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De agora em diante, vamos lidar com funções cujo domínio ou contra domínio é o plano (ou o espaço tridimensional).
Apresentamos alguns conceitos que serão importantes e necessários ao nosso estudo, referentes ao plano e ao espaço.
Tais tópicos se referem às aulas de 13 e 15 de setembro.
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Neste tópico, estudaremos um pouco sobre curvas no plano e no espaço.
São funções de uma variável a valores no plano e no espaço, respectivamente, e serão de grande importância no tratamento de funções de duas e três variáveis.
Este tópico se refere às aulas de 17, 22 e 24 de setembro.
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Apresentamos comentários sobre os traços de algumas curvas que aparecem na Lista 10.
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Neste tópico, começaremos a estudar sobre funções de duas variáveis.
Os itens deste capítulo versam sobre domínio, curvas de nível e gráfico de uma função de duas variáveis e se referem à aulas dos dias 27 e 29 de setembro.
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Neste tópico, estudaremos os conceitos de limite e continuidade para função de duas variáveis.
Refere-se às aulas dos dias 1 e 4 de outubro.
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Neste tópico, estudaremos as chamadas derivadas parciais de uma função de duas variáveis.
Tal conceito é fundamental no estudo da diferenciabilidade de tais funções.
Esta é a aula do dia 8 de outubro.
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Neste tópico, trataremos de um dos temas centrais de nosso curso: o conceito de diferenciabilidade para função de duas variáveis : definição, propriedades algébricas, exemplos e contra exemplos, e a existência de plano tangente ao gráfico da função como uma interpretação geométrica.
Este tópico se refere às aulas de 13 a 18 de outubro.
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No presente tópico, faremos mais alguns exercícios sobre plano tangente e reta normal ao gráfico de uma função diferenciável num ponto deste gráfico.
Esta é a aula do dia 20 de outubro.
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Aprenderemos sobre a chamada regra da cadeia para função de duas variáveis.
Nos próximos tópicos, teremos oportunidade de conhecer algumas aplicações importantes para esta regra de derivação.
Os itens do presente tópico contemplam as aulas de 20 e 22 de outubro.
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Neste tópico, apresentamos o conceito de vetor gradiente de uma função de duas variáveis em um ponto e uma sua importante propriedade geométrica.
Este tópico contempla a aula do dia 25 de outubro.
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Neste tópico, veremos resumidamente como são os conceitos de continuidade e diferenciabilidade para função de três variáveis. A parte importante refere-se ao vetor gradiente e suas propriedades geométricas.
O número grande de itens se justifica pelos exemplos que são apresentados. Este tópico cobre as aulas até o final de outubro.
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Neste tópico, estudaremos sobre derivadas parciais de ordem superior de funções de duas variáveis, particularmente as derivadas parciais de ordem 2, que serão importantes no trato de máximos e mínimos de tais funções.
Este tópico está previsto para a semana de 1 a 5 de novembro, e não faz parte da prova P2.
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Toda derivada parcial é uma particular derivada direcional. Agora, ao invés de considerarmos curvas provenientes da interseção do gráfico de uma função z=f(x,y) com um plano vertical paralelo ao plano xz ou ao plano yz, consideramos curvas provenientes da interseção do gráfico de f com um plano vertical qualquer.
Este tópico contempla as aulas dos dias 10 e 12 de novembro.
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Este é um dos tópicos mais importantes do nosso curso.
Afinal, os adjetivos "maior" e "menor" fazem parte integrante de nosso dia a dia.
Os itens aqui apresentados compreendem as aulas desta semana, até o dia 23 de novembro.
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Multiplicadores de Lagrange é o último tópico de nosso curso.
Este tópico tratará de casos envolvendo funções de duas e três variáveis.
Nos próximos itens, veremos o primeiro destes casos.
Dada uma função diferenciável z = f(x,y), definida num conjunto aberto do plano, aprendemos que os pontos do domínio que são candidatos a pontos de máximo ou de mínimo locais desta função são os chamados pontos críticos. Mas como determinar possíveis pontos de máximo ou de mínimo desta função sobre um conjunto que não é aberto ? Por exemplo, sobre uma curva no plano ? Ou uma região limitada por um quadrado ? A técnica oferecida pelos chamados multiplicadores de Lagrange tem a ver com estas questões.
Este material refere-se às aulas dos dias 24 e 26 de novembro.
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Trataremos agora do processo de multiplicadores de Lagrange para determinar candidatos a pontos de máximo local ou de mínimo local de uma função sobre uma superfície no espaço da forma g(x,y,z) = c, sendo c uma constante real.
Os itens referem-se às aulas de 29 de novembro e 1 de dezembro.
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No presente tópico, veremos como a técnica de multiplicadores de Lagrange pode colaborar na escolha de pontos que possam ser de máximo ou de mínimo de uma função de três variáveis sobre uma curva definida por interseção de duas superfícies.
É o último tópico de nosso curso.
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Neste tópico, apresentamos vários exercícios resolvidos sobre funções de duas e três variáveis. Alguns são mais fáceis e outros, nem tanto, mas estes mostram como os diversos assuntos abordados no curso podem se relacionar na solução de problemas.
Para a prova P3, no dia 20 de dezembro, a matéria versará sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis em diante, a saber:
funções diferenciáveis, plano tangente e reta normal, vetor gradiente e suas propriedades, regra da cadeia, derivada direcional, derivadas de ordem superior, máximos e mínimos em conjuntos compactos ou não, multiplicadores de Lagrange.
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Segue a resolução de uma versão da prova P3 de Cálculo II.
A prova substitutiva será no dia 10 de janeiro, e a matéria é a mesma da prova P3. A prova substitutiva é aberta.
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