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      Legendas das peças Arquivo

      Todas as atrações têm uma legenda um texto geral explicativo e, ao lado, uma figura com uma legenda. A figura passa uma informação complementar.

      Além disso, quase todas as peças têm uma outra legenda, chamada "Desafio", que diz mais objetivamente sugestões de interação com as peças.

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      Tabela de poliedros Arquivo

      Essa tabela contém todos (a menos de duas famílias infinitas) os poliedros convexos com faces que são polígonos regulares (PCFR). Há duas categorizações que se intersectam: (1) uniformes e não uniformes: os uniformes são os poliedros com todas os vértices iguais; "iguais" aqui quer dizer "indistinguíveis"; os uniformes incluem: os platônicos (são os uniformes com todas as faces iguais), os prismas e antiprismas (que são famílias infinitas) e os arquimedianos (que são todos os outros); (2) elementares ou não elementares (compostos): se não existir um plano que corte um PCFR em dois outros PCFR, então ele é dito elementar. Na tabela estão assinalados quais são os elementares.

      Os poliedros não uniformes foram classificados (com ajuda computacional) na década de 60 e são conhecidos como sólidos de Johnson.

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      Tabela de ladrilhados Arquivo

      Essa tabela serve para sugerir alguns ladrilhados que podem ser montados com as peças disponíveis na mesa.

      1) ladrilhados com polígonos regulares e que sejam periódicos em duas direções: há apenas 11

      2) qualquer quadrilátero serve para ladrilhar o plano, de maneira periódica

      3) ladrilhados aperiódicos de Penrose, que usam duas peças


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      Tabela de nós Arquivo

      São infinitos os nós. Essa tabela mostra nós (e enlaces, à direita) que são primos, isto é, que não podem ser decompostos em dois pedaços não triviais. Cada um é mostrado em uma configuração com o mínimo possível de cruzamentos.

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      Superfícies com fórmulas Arquivo

      Um pequeno cartaz com as fórmulas para obter as superfícies que estão sendo mostradas, e seus nomes.

  • Dicas, peça a peça

    A ideia aqui é reunir contribuições para abordagens rápidas das atrações, principalmente na hora de fazer aquele tour inicial. Lembrando que não é preciso se deter em algumas atrações, pois elas requerem mais tempo e ação individual: por exemplo, poliedros e ladrilhados. Em outras há um objetivo claro ou uma observação rápida. Enfim, varia muito.

    Eu vou abrir uma tag editável para cada atração (1 a 39), colocando (Colli) antes do que eu escrevi. Quem quiser escrever outras coisas, coloca um parênteses com o nome antes da observação.

    • 1 TRIÂNGULO IMPOSSÍVEL

      (Colli) O símbolo da Matemateca está exatamente abaixo da peça, para que os visitantes vejam o desenho impossível do triângulo. Cada "canto" do triângulo é possível nas regras de perspectiva, mas a figura como um todo não é. Haverá marcações aproximadas para as pessoas procurarem a distância que devem estar da peça para conseguirem ver no ângulo certo que dá a ilusão de que o triângulo foi construído no mundo real.

    • 2 ANAMORFOSE DO CILINDRO ESPELHADO

      (Colli) Primeiro é deixar os visitantes se surpreenderem com as figuras planas e 3D que, ao serem colocadas em frente ao espelho, ficam "corretas". Em outra base, poderão usar um lápis para o seguinte "desafio": marcados dois pontos na prancha, traçar uma curva na prancha que se pareça uma reta quando olhada no espelho.

    • 3 A FAUNA DOS POLIEDROS
      (Colli) A ideia é que os visitantes voltem, depois do tour inicial, e brinquem um pouco de montar poliedros. Num primeiro momento, pode-se mostrar como funciona o encaixe das peças e dizer que na tabela há vários exemplos, que podem ser imitados. Em geral os alunos se embananam já com a terminologia: polígono vs. poliedro, os nomes dos polígonos regulares, quanto mais saber os nomes dos poliedros platônicos. Se der, podem avançar um pouco por aí, mas, evidentemente, há muito conteúdo a ser explorado e é melhor deixar para os interessados que voltarão depois.

      (Dayene) Uma sugestão é indicar que muitos desses poliedros podem ser encontrados na natureza. Um exemplo mais claro disso é visto no estudo de cristais (cristalografia) em que os átomos de alguns cristais possuem formas de poliedros e tais formas são mantidas nos cristais brutos. Posso emprestar alguns cristais para quem quiser exibir na exposição. 

    • 4 LADRILHADOS

      (Colli) Outra atração que não é para se deter muito no início. Eu costumo mencionar que há outras maneiras de azulejar/pavimentar chão e paredes, para além dos quadrados. Pode-se fazer um paralelo também com a mesa dos poliedros, que é mais ou menos a versão 3D do mesmo problema.

      Lembrando que a "regra do jogo" é que se consiga criar padrões que preencham o plano inteiro, sem lacunas nem superposições de peças.

    • 5 EQUIDECOMPONIBILIDADE

      (Colli) Eu contaria qual é o desafio (com as mesmas peças, formar o quadrado ou o hexágono), e deixar para eles voltarem e fazerem depois. Para os mais crescidinhos, é legal reforçar o teorema que diz: dois polígonos de mesma área sempre podem ser montados com as mesmas (finitas) peças. Atenção: isso não vale para poliedros, há contraexemplos.

    • 6 A FORMA DA AREIA

      (Colli) Outra peça para ser explorada com calma, mas aqui vale a pena deter-se um pouco mais.

      Primeiro, explicar o que é para fazer: encher de areia em cima da placa, até "saturar", isto é, não caber mais areia nenhuma, e então ver "qual é a forma da montanha de areia".

      Segundo, reforçar que a forma da areia depende da forma da placa da base. Eles imaginam a forma sobre um placa circular? Sobre uma placa quadrada? (não demora para responderem) E sobre uma placa retangular? (o telhado!)

      Terceiro: quanto mais alta a montanha sobre um ponto da placa, mais distante ele está do bordo (é proporcional mesmo). Com a placa do mapa do Brasil, pode-se assim achar o ponto mais distante da fronteira (o "centro geográfico"). Pedir para eles arriscarem um palpite (costumam chegar perto). Encher de areia, espetar a agulha no ponto mais alto, retirar a areia se mover a agulha e pronto, ver onde ela está espetando.

      Quarto: há várias coisas de geometria. As cumeeiras dessas montanhas incidem nos ângulo como bissetrizes. Então na placa triangular a cumeeira é formada por segmentos das 3 bissetrizes, que se encontram no incentro. (Atenção: não é o centro de massa do triângulo, que é o encontro das medianas)

      A placa toda furada tem como cumeeira um diagrama de Voronoi. E quando há círculos e retas na fronteira, podem aparecer pedaços de parábolas na projeção da cumeeira.

    • 7 DESENHANDO CIRCUNFERÊNCIAS

      (Colli) A legenda explica bem. Para chamar a atenção, reforçar a ideia de que um outro princípio geométrico permite traçar arcos de círculo sem um compasso.

    • 8 DESENHANDO ELIPSES

      (Colli) "Tresmalho de Arquimedes" é o nome desse aparato. O princípio que desenha a elipse é a parametrização t |---> (a cos t, b sen t). O "a" é a distância entre o lápis e o eixo y. O "b" é a distância entre o lápis e o eixo x. Essas distâncias são fixas, pela montagem.

    • 9 POR DENTRO DAS SIMETRIAS

      (Colli) Há muita coisa para se falar sobre simetrias, mas aqui enfatizamos algumas colorações e a possibilidade de "imitar" posições de cores.

      Cubos: alguém já deu a ideia de chamá-los de "satélites". As "antenas" estão pintadas com uma cor para cada diagonal (isto é, vértices opostos têm cores iguais). O desafio é colocar um satélite numa posição de cores e pedir para que o outro seja colocado na mesma posição.

      Propriedade: só há uma maneira de pintar essas diagonais. Ou seja, se você pintar as mesmas quatro cores em dois cubos distintos, sempre é possível colocá-los na mesma posição.

      Octaedros: essencialmente a mesma coisa, são pintadas com mesma cor faces opostas. Os três podem ser colocados na mesma posição.

      Tetraedros: aqui dá problema. Você pinta cada face de uma cor. Mas há duas maneiras distintas de pintá-los. Ou seja, se você pintar ao acaso dois tetraedros com as mesmas cores, não é garantido que consiga colocá-los na mesma posição. Entre os 3 tetraedros que estão na mesa, há 1 de um tipo de 2 de outro tipo.

      Tetraedros enlaçados e icosaedros: neste caso são 5 cores, e há o mesmo problema que ocorre no tetraedro. Duas maneiras distintas de atribuir as cores.

    • 10 A REVOLUÇÃO DOS POLIEDROS

      (Colli) O interessante é logo tentar ver as "sombras" quando os poliedros são postos a rodar. Perguntar o que a pessoa vê. Tentar notar "sombra interna" e "sombra externa".

      Nas sombras aparecem pedaços de cilindros e de cones. Quando há arestas em posição reversa com o eixo, aparecem pedaços de hiperboloide nas sombras (ver atração 13, que vai estar perto).


    • 11 TOPOLOGIA DAS SUPERFÍCIES

      (Colli) Ninguém precisa dar aula de topologia. Mas é legal chamar atenção para algumas coisas:

      - que é uma área da matemática que não se preocupa com a forma exata: a esfera "murcha" ainda é uma esfera, mas ela é essencialmente diferente do toro

      - no caso do toro, há aquela sequência de transformar toro em xícara:  é legal pedir para os visitantes tentarem ordenar as peças

      - que há superfícies sem bordo (esfera, toro,...) ou com bordo (todas as outras da mesa): pedir para passar o dedinho e reconhecer o bordo (em alguns casos, remeter para a frente, pois o bordo é um nó)

      - que há superfícies orientáveis e não orientáveis (pedir para identificar quais são não orientáveis) ("Def. fácil": se tem dois lados é orientável)


    • 12 TEORIA DOS NÓS

      (Colli) Mais para eles entenderem que são curvas no espaço, mas que também não interessa a forma exata, mas como essas curvas se enrolam. Chamar atenção para a tabela. E tentar fazer os desafios da legenda, reforçando que as deformações devem ser feitas sem desconectar as pontas ("é a regra do jogo").

    • 13 SUPERFÍCIES POR LINHAS
      (Colli) Aqui chamamos atenção para a decomposição das superfícies em linhas. Na mesa, estão dois exemplos de superfícies regradas: elas são "curvas", mas se decompõem em linhas retas (paraboloide hiperbólico, ou sela, e hiperboloide circular de uma folha). Explicar que tem um quebra-cabeça para montar uma mini-sela (eles podem voltar depois para fazer).
      As superfícies coloridas são um "enfeite", e um "canto da sereia" para interessados em exatas: ver que aquelas superfícies podem ser descritas por "fórmulas" (que eles só vão entender na graduação).

    • 14 ÁREAS MÍNIMAS

      (Colli) Clássico problema de Plateau: dado um bordo, achar a superfície de área mínima que tem esse bordo. Primeira coisa é dizer que não é para soprar bolhas, e sim para visualizar como as películas se formam dentro.

      É legal falar da área mínima. Em alguns casos, há mais de uma solução (o cubo, por exemplo). Tentar montar a faixa de Möbius. Etc


    • 15 CAMINHOS MAIS CURTOS

      (Colli) Versão bidimensional do problema de Plateau: a película é "unidimensional" e deve ligar os pontos dados. Cada placa dá uma configuração de pontos. As películas mostram qual é a forma de ligar os pontos gastando menos comprimento. Os pontos adicionais formados são chamados de pontos de Steiner e as linhas chegam neles em ângulos de 120 graus.

    • 16 FRACTAIS E AS BOLAS ESPELHADAS

      (Colli) A ideia é eles olharem o que acontece com os reflexos das 3 lâmpadas coloridas acesas. A cartela também: apontar a face colorida para as bolas e olhar pelo buraquinho no meio.

    • 17 A ESPONJA DE MENGER

      (Colli) É legal para explicar o processo de construção de um fractal geométrico.

    • 18 UM ZOOM INFINITO?

      (Colli) Os visitantes depois podem procurar o canal "Maths Town", com vários vídeos desses. Esse que será projetado tem 21 minutos, começando com o Mandelbrot inteiro e terminando em uma minúscula cópia do Mandelbrot de partida, depois de ampliar algo como 10 elevado a 250. Quem tiver paciência poderá ver começo e fim...

    • 19 QUEM CHEGA PRIMEIRO

      (Colli) Explicar a peça. Para quem não acha nada demais, pensar que as duas situações: bolas mais afastadas chegam antes ou depois do que bolas mais próximas, são possíveis. Essa rampa não deixa o tempo de chegada depender da distância.

    • 20 TUDO SOBE... OU NÃO?

      (Colli) É legal ver se eles descobrem o que está acontecendo. Quando começa a demorar, sugerir que olhem a rampa de lado, na mesma altura dela. Eles verão que o cone na verdade está descendo.

      Também é um desafio que pode ser deixado para quando eles voltarem à peça.

    • 21 AS PLACAS DE CHLADNI

      (Colli) Todos os mediadores devem saber tocar! E também dar uma ideia do que está acontecendo com a serragem!

    • 22 JOGO DA VIDA 3D

      (Colli) Estava na lanchonete, mas fizemos alterações. Ele está mais lento agora. Agora ele não fica indefinidamente em um ciclo se não chega em um ponto fixo, ele para após umas 500 iterações. Se aparecer um ponto fixo que não seja "tudo apagado", ele vai ficar uns segundos ligados.

      Aqui é essencialmente explicar o que está acontecendo com as luzes.

    • 23 O BALANCINHO

      (Colli) Ressaltar que o desenho vai depender da condição inicial. Eu gosto também de dizer que o que vemos no papel é uma projeção bidimensional de um sistema que tem (essencialmente) 3 variáveis: duas para a posição do centro da bandeja e uma outra que diz como ela está torcida. Por isso os desenhos se parecem com coisas tridimensionais.

    • 24 O EFEITO BORBOLETA

      (Colli) A ideia é mostrar a dependência sensível às condições iniciais. Se os dois pêndulos são posicionados da mesma maneira, e soltos, eles vão continuar com trajetórias semelhantes? SIM, se tiverem baixa energia, basta não erguê-los demais. NÃO, se tiverem energia de partida alta. Rapidamente cada um está fazendo algo diferente do outro.

    • 25 A RODA D'ÁGUA CAÓTICA

      (Colli) Aqui também é para falar de caos, mas não apenas na questão da sensibilidade às condições iniciais (que não dá para testar), mas na questão da aperiodicidade. Dependendo da abertura da torneira, o movimento dos copos não se repete. Tentar achar essa condição!

      (A peça foi para reforma e ainda não está pronta. Ainda não sei se vai dar certo. Estou rezando.)

    • 26 A PACIÊNCIA BÚLGARA

      (Colli) Ensinar a regra.

      Se o número de peças é 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... isto é, um número triangular (1+2+3+...+n), a iteração sempre termina em um ponto fixo (uma escadinha com pilhas de tamanho 1, 2, 3, ..., n).

      Senão, cai num ciclo periódico.

    • 27 UMA RÉGUA DE CÁLCULO CIRCULAR

      (Colli) Aprender como funciona para ensinar. Fazer uma multiplicação simples (tipo 2 x 3), depois uma como 6 x 9 (para ver como se lê o resultado "63"), brincar um pouco, e depois também fazer divisões (processo invertido).

    • 28 ENGRENAGENS NUMÉRICAS

      (Colli) O desafio é saber de antemão quantas voltas é preciso dar em uma das rodas para que as 3 setas se realinhem. É um problema de MMC nos números de dentes: 20, 30, 48, que dá 240. Com 240 dentes ocorre o retorno. Isso quer dizer 12 voltas na de 20 dentes, 8 voltas na de 30 dentes e 5 voltas na de 48 dentes. Vai depender da idade dos visitantes chegar a ir tão fundo.

      Senão, pode-se explorar um pouco que uma volta na de 30 é uma volta e meia na de 20 etc.

    • 29 UMA MÁQUINA DE SOMAR

      (Colli) Esperamos ter resolvido uns bugs de anos...

      É preciso ensinar a somar. Para isso, é preciso ensinar como formar um número com as bolinhas indicando os "1"s da base 2. Por favor, esqueçam aquela história de dividir por dois, pegar resto etc, depois inverter... Simplesmente vá juntando potências de 2 até formar o número e pronto.

      As crianças ficam fascinadas quando colocamos todas as potências de 1 a 64 (cuja soma é 127) e aí apenas somamos 1. É bonito ver as bolinhas descendo em cascata para sobrar apenas uma no 128. Eu gosto de "testar" a máquina somando 127 com 127: ótima oportunidade para ver se ela realmente não tem bug.

    • 30 TABULEIRO DE GALTON

      (Colli) Se der para não mostrar as bolinhas distribuídas lá embaixo e pedir para eles palpitarem como elas vão ficar, melhor.

      O jeito mais fácil de explicar o que acontece é dizendo que há mais caminhos para uma bolinha terminar no meio do que nas pontas. Para os maiores, pode-se entrar na coisa do triângulo de Pascal (lembrando que isso só vai mesmo acontecer se as probabilidades de ir para a direita e para a esquerda forem iguais em cada choque).

    • 31 CONTROLE DE QUALIDADE

      (Colli) Situação "prática" onde ocorre a distribuição normal: no tamanho das bolinhas de gude. Eles devem soltar as bolinhas no topo da rampa e ver o que acontece. A rampa separa as bolinhas pelos seus tamanhos.

      Atenção: a regulagem da abertura da rampa é EXTREMAMENTE delicada. Se for possível pedir para não mexerem...

    • 32 O QUE TEM NOS CHOCALHOS?

      (Colli) Aqui é preciso ter muita paciência, para obter uma boa estatística. Não temos resposta para dar, e eles não vão saber dizer. Mas é legal para explorar a coisa de que a estatística não chega na verdade, ela chega numa maior possibilidade de verdade.

    • 33 AMOSTRAGEM

      (Colli) Mesma observação que em 32.

    • 34 JOGOS DA VELHA

      (Colli) Alguns demoram um pouco para entender o que é "fazer uma linha" no jogo 3D. Explicar isso é bacana.

      Pode-se apresentar a alternativa do jogo: vá até esgotarem as casas e ganha quem fez mais linhas. Legal para estimular a visualização espacial.

      Eu gosto de desafiá-los perguntando quantas linhas existem. Todos se embananam e frequentemente erram porque tentam respostas simplistas (por exemplo, fazendo uma multiplicação qualquer).

      Sobre estratégias vencedoras no jogo clássico: no 3x3x3, o primeiro joga no meio e depois consegue ganhar, com movimentos mais ou menos óbvios. Parece que há estratégia vencedora para o primeiro jogador no 4x4x4, mas não é tão óbvia.


    • 35 AS PONTES DE KÖNIGSBERG

      (Colli) Explorar o "se e somente se" do Euler. Passagens intermediárias devem ter um número para de pontes. A primeira e a última podem ser ímpares (se são distintas) ou par (se forem a mesma). Euler provou que essa condição não é só necessária, mas suficiente: se todas as regiões têm um número par de pontes, ou apenas duas têm um número ímpar, então existe um caminho que passa em todas as pontes sem repetir nenhuma.

      Como a peça permite por e tirar pontes, é divertido "controlar" os desafios e ver o pessoal rachando a cuca.

    • 36 HEX, O JOGO DE JOHN NASH

      (Colli) Não sei se essa molecadinha sabe do filme de John Nash, mas enfim...

      Ensinar a regra. Dúvidas frequentes: posso colocar uma peça longe das anteriores?

      Informação bacana: o jogo não tem empate. Não há configuração do tabuleiro com os jogadores jogando alternadamente que fique sem um caminho vencedor para um dos dois.

    • 37 ICOSIANO

      (Colli) Ver desafios na legenda. É aquilo lá.

    • 38 O VAGÃO DESAJEITADO

      (Colli) É o que é. Reforçar que é para usar as duas mãos, fazer movimentos suaves e não puxar ou forçar.

    • 39 O JOGO DA VINGANÇA OLÍMPICA

      (Colli) Ver a regra direitinho. No caso de tabuleiros fechados com número par de casas, o segundo jogador vence imitando o primeiro com movimentos na posição oposta (pensando como se fosse um círculo). Os outros casos não são triviais (nem sei dizer de quem e qual é a estratégia vencedora).

  • Tópico 3

  • Tópico 4

  • Tópico 5

  • Tópico 6

  • Tópico 7

  • Tópico 8

  • Tópico 9

  • Tópico 10