Métodos Quantitativos para a Gestão Ambiental (2016)

Vimos na aula passada que podemos estimar os coeficientes da equação de reta que expressa a relação linear entre duas variáveis. Aprendemos que a Tabela de Análise de Variância (ANOVA) da Regressão Linear nos ajuda a medir a variação dos dados quando ajustados pela equação de reta, ou seja, nos ajuda a conferir se o modelo proposto (linearidade da relação entre as duas variáveis) explica bem o comportamento dos dados.

A questão é:   Quão bom é esse ajuste?   Qual o grau de explicação desse modelo linear?

Para responder essas questões usamos os dois conceitos estatísticos apresentados na parte final do roteiro de estudos da aula passada:

coeficiente de correlação       e       coeficiente de determinação

Vamos praticar o uso desses dois conceitos em um novo problema. Considere a questão que alguns cientistas florestais encontraram ao perceber um certo declínio no crescimento das florestas em várias partes do mundo. Um aspecto desse declínio é o possível efeito das emissões de usinas de energia elétrica com base em carvão mineral. Nesse caso, os cientistas estão especialmente preocupados com a relação “nível de pH do solo” e “crescimento das árvores”. Estudos em várias florestas expostas a esse problema vêm sendo conduzidos, através da análise do crescimento das árvores e do pH dos solos nessas regiões. O interesse é avaliar os impactos sobre o crescimento das árvores conforme o solo se torna mais ácido. Índices de redução do crescimento são construídos para certos parâmetros florestais, onde altos valores expressam altos declínios de crescimento. Quanto maior o pH do solo, mais ácido é o solo. Vinte e três talhões próximos a usinas que utilizam o carvão mineral foram selecionadas em um determinado estudo. O índice de redução do crescimento e o correspondente pH médio do solo observados nesses estudos foram plotados no seguinte gráfico.

Usaremos a análise estatística dos dados que geraram esse gráfico para tirar algumas conclusões? Faça o download da planilha de dados clicando aqui, e complete os cálculos necessários para a obtenção dos coeficientes do modelo de regressão linear, dos valores da tabela de análise de variância, e os valores dos coeficientes de correlação e de determinação. Resuma as suas conclusões com base nesses resultados.

Durante a fase exploratória de dados, é comum encontrarmos uma relação aparentemente não linear entre duas variáveis. Métodos específicos para o ajuste de relações não lineares existem, mas estão fora do escopo deste curso.  Entretanto, em alguns casos, uma simples transformação matemática de uma das variáveis, ou das duas, permite ajustar a não linearidade da relação usando os mesmos métodos de regressão linear que temos usado até agora neste curso. Vejamos o seguinte problema.

Uma empresa que oferece serviços de asfaltamento para prefeituras observa a seguinte relação entre tamanho da equipe e área asfaltada. Essa empresa está no mercado há vários anos e utiliza técnicas convencionais de asfaltamento. Um novo composto fabricado com borracha extraída de pneus reciclados será oferecido a seus clientes. A empresa precisa de estimativas de custo de asfaltamento para esse composto e resolve analisar, com base em experiência prévia, a relação “área asfaltada” x “equipes de trabalho”. Uma análise preliminar e exploratória de 150 ordens de serviço anteriores está disponível para essa análise.

Usaremos a análise estatística dos dados que geraram esse gráfico para tirar algumas conclusões. Continuaremos fazendo as pressuposições básicas já conhecidas:

1. A relação entre a variável dependente y e a variável independente x é linear (y = β₀ + β₁ x + ε) com valor esperado do erro igual a 0, ou seja, E(ε_i)=0 para todo i.
2. Todos os erros têm a mesma variância, ou seja, Var(ε_i) = σ² para todo i.
3. Os erros são independentes entre si.
4. Os erros são normalmente distribuídos, ou seja, ε_i é normalmente distribuído para todo i.

Ao observarmos o gráfico,vemos que o aumento do tamanho da equipe, apesar do aumento na área asfaltada, não é linear. De fato, a partir de um certo tamanho, o aumento da equipe parece não levar a aumentos de área asfaltada expressivos. A taxa de crescimento da área asfaltada por jornada de trabalho conforme aumentamos a equipe parece ser decrescente.

Nesse tipo de situação, avaliaremos se a transformação das variáveis do problema pode ser recomendada dando os seguintes passos:

1. Se a análise exploratória dos dados indica uma relação crescente a taxas decrescentes, e se a variabilidade em torno da estimativa for aproximadamente constante, transforme x usando raiz quadrada, logaritmo ou inverso.
2. Se a análise indicar uma relação crescente a taxas crescentes, e se a variabilidade em torno da estimativa for aproximadamente constante, considere x e x² simultaneamente como variáveis explicativas. Como este método envolve duas variáveis, utilize métodos de regressão múltipla.
3. Se a análise indicar uma relação crescente até certo máximo com subsequente decréscimo, e se a variabilidade em torno da estimativa for aproximadamente constante, considere também o uso de x e x² como variáveis explicativas em um único modelo de regressão linear múltipla.
4. Se a análise indicar uma relação crescente a taxas decrescentes, e se a variabilidade em torno da estimativa também crescer com o aumento do valor y estimado, experimente o uso de y² como variável dependente.
5. Se a análise indicar uma relação crescente a taxas crescentes com variabilidade em torno da estimativa também crescente conforme y aumenta, experimente o uso de ln(y) como variável dependente. Pode também ser útil às vezes, considerar o logaritmo natural da variável independente, ln(x). 

 Faça o download da planilha de dados clicando aqui, aplique a transformação que você acha mais recomendada seguindo as sugestões acima. Complete os cálculos necessários para a obtenção dos coeficientes do modelo de regressão linear, dos valores da tabela de análise de variância, e os valores dos coeficientes de correlação e de determinação. Compare com os resultados oferecidos pelo Excel e resuma as suas conclusões.