Objetivo:
O principal objetivo deste curso é oferecer uma primeira introdução aos sistemas dinâmicos, acessível a alunos iniciando o mestrado, apresentando os conceitos básicos do campo e permitindo ao aluno um contato inicial com as principais linhas modernas de pesquisa na área. A disciplina deve fazer tudo isso apresentando um grande número de exemplos de sistemas dinâmicos, oferecendo aos estudantes um repertório que facilite a visualização e compreensão das principais ideias.
Conteúdo:
- Exemplos e conceitos básicos. Recorrência, pontos não-errantes, transitividade, minimalidade, conjugação topológica. Exemplos iniciais: Rotações do círculo; duplicação de ângulo no círculo; shift em 2 símbolos; exemplo de Denjoy (e conjuntos de Cantor); período 3 implica órbitas de todos os períodos; ferradura de Smale e transformação do padeiro. Opcional: rotações em $\T^2$ e transformações lineares de $\T^2$.
- Entropia topológica. Definição por conjuntos (n,epsilon)-separados e cálculo de exemplos.
- Introdução à dinâmica em uma dimensão. Número de rotação e classificação de Poincaré; Teorema de Denjoy; família quadrática e cascata de duplicação de período. Opcional: Família quadrática complexa.
- Introdução a aspectos métricos Transformações que preservam medida e exemplos; recorrência de Poincaré; ergodicidade e Teorema Ergódico de Birkhoff (enunciado).
- Introdução à dinâmica diferenciável. Hiperbolicidade de pontos periódicos; estabilidade de pontos periódicos hiperbólicos; Teorema de Grobman-Hartman, estabilidade estrutural, conjuntos hiperbólicos e Axioma A (enunciado).
- Docente: Fabio Armando Tal