Física Básica I

Dada a força resultante \(\vec{F}\), a segunda lei de Newton $\vec{F}=\dot{\vec{p}}$ determina a trajetória resultante. O que resulta se integrarmos a projeção desta força ao longo desta trajetória? Vejamos: \begin{equation} \int\limits_{t_{0}}^{t} \vec{F}\cdot d\vec{r}= \int\limits_{t_{0}}^{t} \dot{\vec{p}}\cdot d\vec{r}= \int\limits_{t_{0}}^{t} \frac{d\vec{p}}{dt}\cdot d\vec{r}= \int\limits_{t_{0}}^{t} d\vec{p}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=\int\limits_{t_{0}}^{t} \vec{v}\cdot d\vec{p}, \end{equation} onde escrevemos a derivada primeira como a razão entre duas diferenciais (quantidades infinitesimalmente pequenas), $\vec{v}=d\vec{r}/dt$, podendo a diferencial temporal $dt$ ser manipulada como qualquer expressão algébrica. Neste esquema, diferenciais atraem diferenciais. Considerando a massa $m$ constante, então $d\vec{p}=m\vec{v}$. Esta condição permite que a integral anterior possa ser calculada, \begin{equation} \int\limits_{t_{0}}^{t} \vec{F}\cdot d\vec{r}=m\int\limits_{t_{0}}^{t} \vec{v}\cdot d\vec{v}=\left.\frac{m}{2}\vec{v}\cdot\vec{v}\,\right|_{t_{0}}^{t}=\left.\frac{m}{2}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t}.\end{equation} Note que o resultado dessa integral depende apenas dos valores do módulo (ao quadrado) do vetor velocidade no ponto de partida em $t_{0}$ e no ponto de chegada em $t$. Lembre-se que esse mesmo módulo do vetor velocidade, quando integrado, nós informa o comprimento da trajetória.

Devida à importância dessa integral, a quantidade \begin{equation} T=\frac{1}{2}mv^{2},\quad v^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v}, \end{equation} será denominada de energia cinética. Ela é um número que varia ao longo da trajetória. É constante somente quando o módulo do vetor velocidade é constante, como no movimento circular, por exemplo.

Unidades. As dimensões de energia cinética são as dimensões de massa vezes velocidade ao quadrado, \begin{equation} [T]=\frac{ML^{2}}{T^{2}}.\end{equation} Note que são as mesmas dimensões de força vezes distância. No Sistema Internacional, $\text{kg}\,\text{m}^{2}/\text{s}^{2}=\text{J}$ foi denominada de Joule, em homenagem ao descobridor da equivalência entre energia térmica e energia mecânica.