Programação
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Finalizamos o curso discutindo como calcular integrais complexas envolvendo integrandos plurívocos.
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Após finalizarmos o estudo da função argumento, aproveitando para definirmos funções plurívocas e superfícies de Riemann, discutimos as propriedades do logaritmo complexo e definimos potências complexas.
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Iniciamos hoje uma discussão sobre funções plurívocas, seus ramos, pontos de ramificação e cortes. Nesta aula, apresenta-se uma discussão de caráter topológico sobre o ponto no infinito e a esfera de Riemann, e discute-se a função argumento, que dá origem a todas as funções plurívocas elementares.
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Em que condições valem as relações de dispersão de Kramers-Kronig? Nesta aula, vemos que, se há uma função causal (nula para argumentos negativos) em um domínio (tempo ou frequência, real/original ou Fourier), as componentes real e imaginária da sua transformada, no outro domínio, satisfazem as relações de Kramers-Kronig. Porém, além isso, uma função real (ou puramente imaginária, embora isso seja menos comum) em um domínio pode ser efetivamente descrita no outro domínio por uma transformada modificada para ser causal. Dessa forma, tal função "pura" pode ser estendida em seu próprio domínio a um sinal analítico, agora com partes real e imaginária ambas não nulas, e que satisfazem as relações de Kramers-Kronig.
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Nesta aula, mostramos que certas funções no plano complexo (que tendem a zero para componentes imaginárias de alto módulo, analíticas no semiplano superior ou no inferior, e apenas com singularidades isoladas no outro semiplano), quando têm seu domínio restrito à reta real, exibem como partes real e imaginária duas funções reais conjugadas uma à outra, constituindo um par de transformadas de Hilbert. As duas relações, em que cada uma é expressa em termos de outra, são conhecidas como relações de Kramers-Kronig.
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Nesta aula, discute-se detalhadamente o efeito de uma singularidade "amena" (um pólo simples) em um contorno de integração. Há 3 diferentes formas de reinterpretar a integral divergente, que podem corresponder a diferentes situações/hipóteses físicas. Uma delas é o valor principal (VP) da integral, enquanto as duas outras são expressas pela fórmula de Plemelj, ou de Sokhotski-Plemelj. Enquanto o VP "capta" uma "contribuição longitudinal" da singularidade, ao longo do contorno, a fórmula de Plemelj expressa os dois tipos de "contribuições transversais" da singularidade, correspondentes aos dois lados pelos quais um pólo simples fora do contorno de integração poderia "adentrá-lo".
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Vemos nesta aula que a transformada de Fourier não apenas pode, sim, ser aplicada a problemas de valor inicial (ao contrário do "folclore" convencional, que recomenda exclusivamente a transformada de Laplace nessas situações), como isso deve ser feito se todas as possíveis soluções devem ser obtidas. Porém, há um "preço a ser pago": a equação diferencial pertinente precisa ser interpretada no sentido de distribuições. Além disso, inicia-se hoje uma discussão estendida sobre as diversas relações entre singularidades, distribuições e integrais complexas, envolvendo o valor principal de Cauchy e a fórmula de Plemelj.
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Iniciamos nesta aula a apresentação de diversos cálculos explícitos de funções de Green mediante transformadas. Em particular, usamos um problema simples para motivar a apresentação da inversão da transformada de Laplace pela integração complexa com contorno de Bromwich.
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Nesta aula, discutem-se detalhadamente os fundamentos das álgebras de convolução. Exemplos ilustram com cuidado como surgem as equações no sentido de distribuições associadas a EDOs e problemas de valor inicial.
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O objetivo desta aula é mostrar que, quando um sistema físico é descrito por um operador de convolução (invariante por translações, além de linear e contínuo), a equação diferencial que o descreve é equivalente a uma equação algébrica, no sentido de distribuições. Nesse sentido, uma função de Green também pode ser interpretada como a distribuição associada ao operador de convolução, inversa à distribuição correspondente ao operador diferencial do problema.
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Nesta aula, utilizam-se a transformada de Laplace e um problema de valor inicial (PVI) simples para ilustrar o conceito de uma função de Green. Uma função de Green também é conhecida como solução fundamental ou função resposta impulsiva, pois é interpretada fisicamente como a solução do PVI no caso idealizado em que o forçamento seria impulsivo, dado por uma delta de Dirac. Sua transformada é a função de transferência. Matematicamente, interpreta-se uma função de Green como o núcleo de integração do operador (integral) inverso do operador diferencial que define o PVI. Para futuras interpretações/manipulações da função de Green como uma distribuição, define-se também convolução de distribuições e apresenta-se o teorema de convolução pertinente.
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Nesta aula, finalizam-se as "discussões multidimensionais" da TF, com destaque para o teorema de convolução, e discute-se informalmente o aparente paradoxo da descrição de funções por uma superposição contínua de ondas planas na TF, quando elas deveriam ser expressas em bases enumeráveis.
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Dando continuidade à discussão sobre "informação incompleta" iniciada na aula anterior, apresenta-se nesta aula a transformada discreta de Fourier (DFT - discrete Fourier transform) que mapeia N-sequências complexas do sinal em N-sequências complexas da TF e constitui-se no fundamento teórico dos tratamentos numéricos da TF via transformada de Fourier rápida (FFT - fast Fourier transform). Discutem-se também generalizações multidimensionais da TF.
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Nesta aula discutem-se (a) as propriedades da TF que emergem quando ela se aplica a funções periódicas ou com paridade definida e (b) o famoso teorema de amostragem, que mostra como um sinal contínuo (limitado em banda de frequência) pode ser reconstituído pode um conjunto discreto (enumerável) de observações.
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Nesta aula, equações diferenciais parciais da onda e de Laplace são resolvidas mediante a transformada de Fourier. Mas, acima de tudo, são apresentadas importantes construções teóricas com a TF. Como destaque, a partir da interpretação de uma correlação como uma convolução, demonstra-se o teorema de Wiener-Khinchin, do qual seguem a conclusão de que a transformada de Fourier é uma isometria no espaço das funções quadrado-integráveis e a conservação da energia/probabilidade expressa pela relação de Parseval-Plancherel.
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Nesta aula, define-se a convolução de duas funções e demonstra-se que a TF da convolução é o produto das TFs das parcelas, uma propriedade fundamental para várias aplicações da transformada de Fourier. Inicia-se hoje uma série de exemplos de aplicação da TF na resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e parciais (EDPs). Em particular, resolve-se a equação de difusão/calor unidimensional.
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Primariamente, transformadas de Fourier são definidas para funções integráveis. No entanto, isso se revela insuficiente - a inversão não seria sempre possível. Nesta aula, que envolve comentários bem técnicos embora evite a enorme maioria das demonstrações pertinentes, argumenta-se que o cenário mais conveniente em que transformadas de Fourier existem e gozam de boas propriedades é aquele das distribuições temperadas. Nesse contexto, mostra-se que transformadas de Fourier de derivadas de distribuições equivalem a fatores multiplicativos, o que permitirá a conversão de equações diferenciais em equações algébricas.
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Discutem-se nesta aula (a) um exemplo detalhado que requer o uso do lema de Jordan e integração por resíduos e (b) o comportamento da transformada de Fourier de funções sob efeitos de translação e escala em seu argumento, que revela, em geral, "relações de incerteza" entre funções conjugadas por Fourier.
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Nesta aula, define-se informalmente (sem preocupações com condições exigidas para a existência) a transformada de Fourier de uma função. Apresentam-se também alguns exemplos tradicionais de cálculos de transformadas.
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Nesta aula, discutimos brevemente o Laplaciano como uma distribuição, apresentamos os conceitos de função de rápido decréscimo e de distribuições temperadas, e revisamos rapidamente alguns aspectos de séries de Fourier, principalmente em sua forma complexa, para motivar a introdução das transformadas de Fourier.
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Nesta aula, discute-se principalmente como o produto tensorial de distribuições viabiliza cálculos com distribuições sobre funções teste de várias variáveis.
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Nesta aula, discutimos o significado de "delta de uma função" no caso de múltiplas raízes da função e definimos suporte de uma distribuição, apontando a relevância desse conceito.
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Nesta aula, discutimos mudanças de variáveis em distribuições, e, em particular, na delta de Dirac ("delta de uma função"), no caso de uma função com um único zero.
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Nesta aula, interpretamos fisicamente a derivada da delta de Dirac como um dipolo elétrico e aprendemos como expressar, "hierarquicamente", no sentido de distribuições, funções com "diferentes graus de regularidade".
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Nestas aulas, as distribuições singulares são caracterizadas pela falta de uma função localmente integrável (densidade) legítima para expressá-las como uma integral. Apesar disso, destaca-se o uso de uma notação como se tal representação fosse possível. O exemplo canônico é a delta de Dirac, mas define-se também o valor principal de Cauchy. Por fim, são apresentadas as mais básicas propriedades de distribuições, todas inspiradas pelas representações integrais das distribuições regulares: deslocamento, escala, derivadas de distribuições.
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Nesta aula, discutimos os requisitos formais de continuidade que caracterizam distribuições e mostramos que eles são satisfeitos na construção de toda uma classe de distribuições, aquela das distribuições regulares, expressas com uma representação integral baseada em uma função localmente integrável.
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Nestas aulas, as distribuições (ou funções generalizadas) são caracterizadas como funcionais lineares contínuos sobre um espaço de funções teste suaves de suporte compacto.
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Nesta aula, apresentamos a expansão funcional de Taylor, em que "um funcional é expresso como uma soma de funcionais", onde sucessivos termos são cada vez menores e envolvem derivadas funcionais de ordens crescentes. Essa construção é possível pela identificação de diferentes operadores pelo "congelamento seletivo" de diferentes "entradas" da derivada de Gâteaux \( \delta J (f,h) \).
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Nestas aulas, são discutidas interpretações da derivada funcional.
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Nesta aula, são apresentados diversos exemplos de cálculos de derivadas funcionais.
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Nestas aulas, discutem-se aspectos formais da descrição de um problema de cálculo variacional, envolvendo os conceitos de espaços normados para que a noção de distância entre funções faça sentido. Definem-se funcionais, derivada de Gâteaux e derivada funcional/variacional.