Física Básica I

Uma equação diferencial ordinária (EDO), como o primeiro nome diz, é uma equação. Esta equação relaciona termos conhecidos e desconhecidos compostos por funções e suas derivadas. A brincadeira consiste em determinar as funções mais gerais que respeitem as equações nas EDOs. Caso ainda não teve contato com equações diferenciais ordinárias (EDOs) mas teve contato com derivadas e integrais, então já fez uso de EDOs mesmo não sabendo que estava fazendo.

Exemplo 1. Suponha \(x(t)\) uma função (desconhecida) do tempo $t$ satisfazendo a seguinte EDO de primeira ordem: \begin{equation}\dot{x}=\frac{dx}{dt}=\alpha,\end{equation} onde $\alpha$ é um parâmetro (constante) real. Pergunta: quem é a função $x$ de $t$ que derivada uma vez resulta numa constante? Essa pergunta é a verbalização da EDO dada. Esta EDO é tão simples que a função procurada, $x(t)$, pode ser encontrada usando o teorema fundamental do cálculo, \begin{equation} x(t)=\alpha t+\beta,\end{equation} onde $\beta$ é outra constante. A verificação é imediata: basta tomar a derivada primeira. O resultado já é a própria EDO dada. Note que fizemos uso apenas do teorema fundamental do cálculo. Nós adivinhamos a solução usando apenas nossos conhecimentos de derivadas e integrais das funções elementares. É uma adivinhação educada.

Exemplo 2. Suponha $x(t)$ uma função (desconhecida) do tempo $t$ satisfazendo a seguinte EDO de segunda ordem: \begin{equation} \ddot{x}=\alpha,\end{equation} onde $\alpha$ é um parâmetro (constante) real. Pergunta: quem é a função $x$ de $t$ que derivada duas vezes resulta numa constante?  Novamente, usando nossos conhecimentos de derivadas e integrais das funções elementares, a solução deve ser um polinômio quadrático, \begin{equation} x(t)=\frac{\alpha}{2} t^{2}+\beta t+\gamma,\end{equation} onde $\beta$ e $\gamma$ são constantes. A verificação é imediata: \begin{equation} \dot{x}=\alpha t+\beta,\; \ddot{x}=\alpha.\end{equation}

A propósito, o Teorema Fundamental do Cálculo:

Teorema 3

Seja $f(t)$ uma função contínua e $F(t)$ a sua integral (indefinida), \begin{equation}\int f(t)\, dt = F(t).\end{equation} Então, \begin{equation}\frac{d}{dt}F(t) = f(t).\end{equation}

Sob a luz deste teorema, a EDO de primeira ordem no Exemplo 1 pode resolvida formalmente. Basta integrar no tempo os dois lados desta EDO, \begin{equation} \int \dot{x}\, dt= \int\alpha\, dt\implies x(t)=\alpha t+\beta,\end{equation} e usar o Teorema Fundamental do Cálculo no lado esquerdo e resolver a integral do lado direito. Note que precisamos conhecer o integrando para resolver a integral do lado direito. Esta é uma técnica conhecida por separação de variáveis, onde há uma separação completa entre as variáveis dependentes e independentes. Aplicando esta técnica duas vezes, resolvemos a EDO de segunda ordem no Exemplo 2 (verifique).

Todo processo dinâmico, em todas as áreas do conhecimento, é controlado por equações diferenciais. O estudo de equações diferenciais é uma das áreas mais importantes do conhecimento científico. Aprenda o que puder sobre equações diferenciais.