Física Básica I

Por ser uma soma que envolve um processo limite e, o mais importante, que sabemos executar, daremos a ela um nome, integral, e uma notação especial.

Teorema 1

O comprimento de uma trajetória, ou distância percorrida entre os pontos inicial \(t_{i}\) e final $t_{f}$, é dado por \begin{equation} \label{eq:DS} \Delta S = \int_{t_{i}}^{t_{f}} v(t),\, dt\; v(t)=\|\vec{v}\|=\|\dot{\vec{r}}\|, \end{equation} onde o vetor posição $\vec{r}(t)$ representa a trajetória na forma paramétrica.

O símbolo $dt$ (denominado de diferencial) no Teorema 1 indica que a integral (soma) está sendo feita na variável $t$, a variável de integração. A integral no Teorema 1 é denominada de definida, $t_{i}$ indicando o limite inferior e $t_{f}$ indicando o limite superior. Sem os limites de integração, uma integral é denominada de indefinida e, em geral, fornece uma nova função da variável de integração.

Pondere sobre a praticidade de ter uma ferramenta como a integral para calcular o comprimento de uma trajetória conhecendo apenas o módulo do vetor velocidade, sem a necessidade de usar uma fita métrica. Veja o Livro Apêndices para uma introdução sucinta sobre os aspectos operacionais de integração.

Exemplo. Seja a trajetória circular no plano $z(t)=0$ dada pela forma paramétrica \begin{equation} x(t)=R\cos\theta(t),\; y(t)=R\sin\theta(t), \end{equation} sendo $\theta$ a fase dada por \begin{equation} \theta(t)=\omega t+\varphi, \end{equation} onde $\omega$ é um parâmetro conhecido por frequência angular, $\varphi$ é a constante da fase e $R$ é o raio (igual ao comprimento do vetor posição). Então o vetor velocidade é \begin{equation} \begin{aligned} v_{x}&=\dot{x}=-\omega R\sin\theta=-\omega y(t),\\ v_{y}&=\dot{y}=+\omega R\cos\theta=+\omega x(t),\\ v_{z}&=\dot{z}=0, \end{aligned} \end{equation} cujo módulo é \begin{equation} v(t)=\|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\omega R. \end{equation} O tempo gasto para uma volta completa é o período $T$, tal que $\omega T=2\pi$, pois as funções trigonométricas são periódicas, $\cos\theta(t+T)=\cos\theta(t)$ (verifique). Assim, de acordo com o Teorema 1, o a distância percorrida entre os instantes $t_{i}=0$ e $t_{f}=T$ é \begin{equation} \Delta S=\int_{0}^{T}\! v(t) dt=\omega R\int_{0}^{T}\!dt= \omega RT= 2\pi R. \end{equation} Note que este comprimento é exatamente o perímetro de uma circunferência de Raio $R$, como esperado. Note também que este comprimento é numericamente igual à área abaixo ao gráfico da função constante $v(t)=\omega R$ no intervalo $t\in [0,T]$.

Exercício 1. Determine a distância percorrida entre os instantes $t_{i}=0$ e $t_{f}=t$ na trajetória no plano $z=0$ dada pela curva (círculo) na forma paramétrica \begin{equation} x(t)=R\cos(\omega t),\quad y(t)=R\sin(\omega t), \end{equation} onde $R$ é o raio.

Exercício 2. Determine a distância percorrida entre os instantes $t_{i}=0$ e $t_{f}=3/2$ na trajetória no plano $z=0$ dada pela curva (parábola) na forma paramétrica \begin{equation} x(t)=2t,\; y(t)=3t-t^2,\; 0\leq t\leq 3/2. \end{equation} Use o Sistema Internacional (SI) de unidades, onde comprimento está em metros (m) e tempo em segundos (s). Precisa de uma tabela de integrais ou, mais eficiente, de computação algébrica.

Exercício 3. Determine a distância percorrida entre os instantes $t_{i}=0$ e $t_{f}=t$ na trajetória dada pela curva (hélice) na forma paramétrica \begin{equation} x(t)=R\cos(\omega t),\; y(t)=R\sin(\omega t),\; z(t)=t/2. \end{equation} onde $\omega$ e o raio $R$ são parâmetros arbitrários.