Física Básica I

Como podemos calcular a função escalar \(\kappa(t)\), curvatura, introduzida no Teorema 2? Produto vetorial! Sim, efetue o produto vetorial entre o vetor velocidade e a aceleração escrita na forma dada no Teorema 2, \begin{equation} \vec{a} = \dot{\vec{v}} = \dot{v}\,\hat{v} + v^{2}\kappa\, \hat{n} \implies \vec{v}\times\vec{a} = \dot{v}\,\vec{v}\times\hat{v} + v^{2}\kappa\, \vec{v}\times\hat{n}. \end{equation} Como o produto vetorial entre vetores paralelos é nulo, por definição, então $\vec{v}\times\hat{v}=0$, resultando em \begin{equation} \vec{v}\times\vec{a} = v^{2}\kappa\, \vec{v}\times\hat{n}. \end{equation} Agora basta tomar o módulo e lembrar que $\|\vec{v}\times\hat{n}\|=\|\vec{v}\|=v$, uma vez que os vetores $\vec{v}$ e $\hat{n}$ são perpendiculares e que $\|\hat{n}\|=1$.

Teorema 3

O módulo da curvatura de uma trajetória representada pelo vetor posição $\vec{r}$ (forma paramétrica) é \begin{equation} \label{eq:curv} |\kappa(t)|=\frac{\|\vec{v}\times\vec{a}\|}{v^{3}}, \end{equation} onde $\vec{v}=\dot{\vec{r}}$, $\vec{a}=\dot{\vec{v}}$ e $v=\|\vec{v}\|$.

Em geral tomamos o valor positivo para a curvatura. A curvatura é uma medida de quanto uma curva se diferencia de uma reta. Uma reta tem curvatura nula, por definição. Quanto menor o valor da curvatura, mais parecida com uma reta a curva é.

Exercício 1. Determine a curvatura da trajetória no plano $z=0$ dada pela curva (círculo) na forma paramétrica \begin{equation} x(t)=R\cos(\omega t),\quad y(t)=R\sin(\omega t), \end{equation} onde $R$ é o raio.

Exercício 2. Determine a curvatura da trajetória no plano $z=0$ dada pela curva (parábola) na forma paramétrica \begin{equation} x(t)=2t,\; y(t)=3t-t^2,\; 0\leq t\leq 3/2. \end{equation} Use o Sistema Internacional (SI) de unidades, onde comprimento está em metros (m) e tempo em segundos (s).

Exercício 3. Determine a curvatura da trajetória dada pela curva (hélice) na forma paramétrica \begin{equation} x(t)=R\cos(\omega t),\; y(t)=R\sin(\omega t),\; z(t)=t/2. \end{equation} onde $\omega$ e o raio $R$ são parâmetros arbitrários.