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2. Geometria

2.7. Curvas espaciais

Curvas espaciais

Tendo estabelecido propriedades importantes sobre o espaço euclidiano, temos que precisar a noção de trajetória de um objeto em movimento neste espaço. Qual é a noção cotidiana de trajetória que temos? Eu a vejo como um sequência de fotografias de um objeto em movimento, tiradas em intervalos de tempo muito pequenos, com as posições do objeto ligadas por retas. Se os intervalos de tempo são muito pequenos, a trajetória terá a aparência de uma curva espacial, um curva suave em três dimensões. Isto é tudo que precisamos para estabelecer uma estrutura matemática geral para qualquer trajetória. Portanto, nosso problema agora é como representar uma curva no espaço Euclidiano de forma eficiente, i.e., tendo um sistema de coordenadas Cartesiano (de preferência ortonormal), temos de encontrar uma forma adequada (para a Mecânica) para representarmos analiticamente uma curva em termos de coordenadas. É o programa cartesiano: transformar objetos geométricos em números.

Definição.

Definição. Uma curva espacial \(\gamma\) é definida como o lugar geométrico dos pontos

\begin{equation} \label{eq:curva3d} \gamma: \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\; t\in\mathbb{R}. \end{equation}

Note que estamos usando as coordenadas de um vetor posição $\vec{r}$, descrito em algum referencial ortonormal, para descrever as coordendas de um ponto na curva $\gamma$. Naturalmente, esse vetor posição identifica a posição de um objeto na sua trajetória, descrita pela curva espacial $\gamma$. Muito conveniente, não acha? Ainda mais conveniente é adiantar que a segunda lei de Newton nos obriga a interpretar o parâmetro $t$ na definição como sendo o tempo, medido por nossos relógios. Para o geômetra, esse parâmetro $t$ não precisa de um significado específico. Eles preferem o próprio comprimento da trajetória! Uma curva descrita como na definição está na sua forma paramétrica, onde $t$ é o parâmetro, o qual pertence a algum intervalo da reta real. Denominaremos as coordenadas $x(t)$, $y(t)$ e $z(t)$, ou simplesmente $x_{i}(t)$, de equações horárias (por razões óbvias, pois $t$ será o tempo). Vale mencionar que a forma paramétrica é também a forma mais eficiente computacionalmente em duas dimensões e única em três ou mais dimensões.

Exemplos.

Reta. A forma paramétrica de uma reta exige que as sua equações horárias sejam polinômios de segundo grau no parâmetro escolhido,

\begin{equation} \label{eq:reta} x_{i}(t)=a_{i}+b_{i}\, t,\; i\in\{1,2,3\}. \end{equation}

Parábola. A forma paramétrica de uma parábola exige que as sua equações horárias sejam polinômios de segundo grau no parâmetro escolhido,

\begin{equation} \label{eq:parabola} x_{i}(t)=a_{i}+b_{i}\, t+c_{i}\, t^{2},\; i\in\{1,2,3\}. \end{equation}

Círculo. A forma paramétrica de uma círculo de raio $R$ é dada pelas equações horárias

\begin{equation} \label{eq:circulo} x_{i}(t)=c_{i}+a_{i}R\,\cos\theta(t)+b_{i}R\,\sin\theta(t),\; i\in\{1,2,3\}. \end{equation}

Espiral. Por comodidade, uma espiral de base circular de raio $R$, centrada no eixo $Z$, tem a forma paramétrica dada pelas equações horárias

\begin{equation} \label{eq:espiral} x(t)=R\,\cos\theta(t),\; y(t)=R\,\sin\theta(t),\; z(t)=f(t), \end{equation}

onde a fase $\theta(t)$ é arbitrária e $f(t)$ é uma função racional de $t$.

Questões. Será possível criar ferramentas matemáticas para nos informar se uma dada curva descrita pela sua forma paramétrica é, na verdade, uma reta? ou quando ela é plana? Existe um algoritmo para colocarmos uma reta tangente num determinado ponto de uma curva espacial? Como podemos calcular algebricamente o comprimento de um determinado trecho de uma curva espacial? As respostas a esta questões estão nas próximas seções.

Exercício. Use o Geogebra para criar e visualizar pelo menos um caso de cada curva exemplificada aqui. Visite a Seção Computação.


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