Metodos Matematicos da Fisica

Em 1928 Dirac encontrou uma equação tipo Schrödinger (autovalor e autovetor), relativisticamente invariante, com uma densidade de probabilidade definidamente positiva, e, surpreendentemente, linear nas taxas de variação temporal e espacial, como as equações de Maxwell. Não é um exagero dizer que as equações de Maxwell serviram de inspiração tanto para a Relatividade Especial de Einstein em 1905, quanto para a equação de Dirac em 1928. Posteriormente inspirou as sofisticadas teorias de gauge. A estrutura matemática das equações de Maxwell é de fato extraordinária (perfeita). A equação de Dirac deu uma interpretação perfeita do intrincado espectro eletrônico do átomo de hidrogênio, que desafiava qualquer outro modelo da época, cuja história é recontada brilhantemente por Tomonaga [1].

Forma não covariante. A forma não covariante (aparentemente) da equação de Dirac, \(\) \begin{equation} (H-\mathbb{i}\hbar\mathbb{I}\,\partial_{t})\Psi=0,\quad H=mc^{2}\beta+c\,\vec{\alpha}\cdot\vec{p},\end{equation} está exposta de forma construtiva na Ref. [2]. Notações. As taxas temporal e espaciais serão indicadas como \begin{equation} \partial_{t}=\frac{\partial}{\partial t},\quad \partial_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}},\quad i\in\{1,2,3\}.\end{equation} Os vetores no hamiltoniano $H$ são matrizes $4\times 4$ construídas com as matrizes de Pauli $\sigma_{i}$, \begin{equation} \alpha_{i}=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_{i}\\ \sigma_{i} & 0\end{pmatrix}, \quad \beta=\begin{pmatrix} \mathbb{I} & 0\\ 0 & -\mathbb{I}\end{pmatrix}.\end{equation} O produto escalar em $H$ é feito com a métrica euclidiana, \begin{equation} \vec{\alpha}\cdot\vec{p}=\alpha_{1}p_{1}+\alpha_{2}p_{2}+\alpha_{3}p_{3}=\alpha_{i}p_{i}.\end{equation} Aqui, o uso da convenção de Einstein para soma implícita é um abuso de linguagem. As matrizes $\alpha_{i}$ e $\beta$ possuem as propriedades seguintes: \begin{equation} \alpha_{i}^{\dagger}=\alpha_{i},\; \beta^{\dagger}=\beta,\; \alpha_{i}^{2}=\beta^{2}=\mathbb{I},\; [\alpha_{i},\alpha_{j}]_{+}=2\delta_{ij}\mathbb{I},\; [\alpha_{i},\beta]_{+}=0.\end{equation}

Forma covariante. Para revelar a forma covariante da equação de Dirac, basta multiplicá-la por $\beta/c$, \begin{equation}H_{D}=mc\beta^{2}+\beta\vec{\alpha}\cdot\vec{p}-\mathbb{i}\hbar\beta\,\partial_{ct}= mc\mathbb{I}+\gamma^{i}p_{i}-\mathbb{i}\hbar\gamma^{0}\,\partial_{0},\quad x^{0}=ct,\end{equation} e introduzir a representação $p_{k}=-\mathbb{i}\hbar\,\partial_{k}$ no espaço das posições para o momentum linear, \begin{equation}H_{D}=mc\mathbb{I}-\mathbb{i}\hbar(\gamma^{0}\,\partial_{0}+\gamma^{i}\,\partial_{i})= mc\mathbb{I}-\gamma^{\mu}p_{\mu},\quad p_{\mu}=\mathbb{i}\hbar\,\partial_{\mu}.\end{equation} As matrizes de Dirac $\gamma^{\mu}$, definidas como \begin{equation} \gamma^{0}=\beta,\quad \gamma^{i}=\beta\alpha_{i}=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_{i}\\ -\sigma_{i} & 0\end{pmatrix}, \end{equation} possuem as propriedades seguintes: \begin{equation} (\gamma^{i})^{\dagger}=-\gamma^{i},\; (\gamma^{0})^{\dagger}=\gamma^{0},\; (\gamma^{i})^{2}=-\mathbb{I},\; (\gamma^{0})^{2}=\mathbb{I},\; [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]_{+}=2g^{\mu\nu}\mathbb{I},\; [\gamma^{i},\gamma^{0}]_{+}=0.\end{equation}

Hidrogênio. O átomo de hidrogênio, um elétron de carga $-e$ na presença de um próton (fixo) de carga $e$, é caracterizado pelo quadripotencial \begin{equation} A_{0}=\phi=C_{e}\frac{e}{r},\quad A_{i}=0.\end{equation} Introduzindo o acoplamento mínimo $p_{\mu}\to p_{\mu}+(e/c)A_{\mu}$ na hamiltoniana de Dirac, \begin{equation} H_{H}=H_{D}+\gamma^{0}V(r),\quad V(r)=-C_{e}\frac{e^{2}}{r},\end{equation} obtemos a hamiltoniana do hidrogênio na forma covariante. A forma aparentemente não covariante (fatorando $\gamma^{0}/c$) é muito útil para a análise das funções de onda, \begin{equation} H_{H}=mc^{2}\beta+V(r)\mathbb{I}+c\,\vec{\alpha}\cdot\vec{p}-\mathbb{i}\hbar\mathbb{I}\,\partial_{t}.\end{equation}