Metodos Matematicos da Fisica

EDO. Introduzindo as substituições \( \) \begin{equation} E\to E+e\Phi,\quad p^{2}\to -\hbar^{2}\nabla^{2}, \end{equation} na relação de dispersão \begin{equation} E^{2}=(mc^{2})^{2}+(cp)^{2}, \end{equation} obtemos (verifique) a equação de Klein-Gordon, \begin{equation} \left[\nabla^{2}+\frac{e^{2}}{(\hbar c)^{2}}\Phi^{2}+\frac{2eE}{(\hbar c)^{2}}\Phi+\frac{E^{2}-(mc^{2})^{2}}{(\hbar c)^{2}}\right]\Psi=0. \end{equation}

Simetria. Como o potencial coulombiano tem simetria esférica, então a dependência angular da função de onda $\Psi$ pode ser separada (em coordenadas esféricas), \begin{equation} \Psi=\frac{R(r)}{r}Y_{m}^{l}(\theta,\phi). \end{equation} Os harmônicos esféricos $Y_{m}^{l}$ são autofunções da parte angular do operador laplaciano, \begin{equation} \nabla^{2}\psi=\left[\frac{1}{r}\frac{\partial (r\psi)}{\partial r}\right]^{2} + \frac{1}{r^{2}}\mathcal{L}^{2}\psi,\quad \mathcal{L}^{2}Y_{m}^{l}=-l(l+1)Y_{m}^{l},\quad l\in \mathbb{N}^{+},\; -l\leq m\leq l. \end{equation}

EDO radial. Estas considerações de simetria nos permite obter uma EDO para a parte radial da equação de Klein-Gordon (verifique), \begin{equation} \left(\frac{d^{2}}{dr^{2}}+ \frac{A}{r^{2}}+ \frac{B}{r}+C\right)R=0, \end{equation} onde \begin{equation} A=\alpha^{2}-l(l+1),\quad B=\frac{2\alpha}{\hbar c} E,\quad C=\frac{E^{2}-(mc^{2})^{2}}{(\hbar c)^{2}}. \end{equation} Para chegar nesta singela EDO, mas com irregularidades em $r\to 0$ e $r\to \infty$, usamos o potencial do próton ($\Phi$) e introduzimos a constante de estrutura fina $\alpha$, \begin{equation} \Phi=C_{e}\frac{e}{r},\quad \alpha=\frac{C_{e}e^{2}}{\hbar c}. \end{equation}