Metodos Matematicos da Fisica

Schrödinger. Considerando \( \) \begin{equation} C=2W\dfrac{mc^{2}}{(\hbar c)^{2}},\quad A=-l(l+1),\quad B=2\alpha\dfrac{mc^{2}}{\hbar c}\end{equation} temos \begin{equation} \lambda=-\sqrt{-C}=-\frac{\sqrt{2mc^{2}(-W)}}{\hbar c},\quad \gamma=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-A}=l+1.\end{equation} Desta forma, a condição de quantização \begin{equation} \gamma+\frac{B}{2\lambda}=-n\end{equation} fornece as possíveis energias $W$, \begin{equation} W(n,l)=\frac{W_{0}}{(n+1+l)^{2}},\quad W_{0}=W(0,0)=-\frac{\alpha^{2}}{2}mc^{2},\quad l\leq n,\; l,n\in\mathbb{N},\end{equation} para o átomo de hidrogênio não-relativístico (e sem spin). 

Tradicionalmente, $N=n+l+1$ é denominado de número quântico principal e indica um estado possível para o elétron. Dentro de cada estado, há sub-estados etiquetados por $l\leq N-1$. Também é tradicional o uso de letras para indicar os sub-estados: $l=0\to s$, $l=1\to p$, $l=2\to d$, $l=3\to f$, etc. Assim, os sub-estados são classificados por $Nl$: $1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $3d$, etc. A Figura 1 mostra alguns destes estados.

Degenerescências. Quantos sub-níveis existem com a mesma energia? Seja $N=n+l+1$, com $l\leq N-1$ e $|m|\leq l$. O número quântico $m$ está presente na parte angular (harmônicos esféricos) das funções de onda. Para cada $l$, existem $2l+1$ valores possíveis de $m$. Importante observar que o número de degenerescências presentes nestes níveis de energia é maior que  $2l+1$, \begin{equation}\sum\limits_{l=0}^{N-1}(2l+1)=N^{2}.\end{equation} A Tabela 1 mostra as degenerescências para os primeiros quatro números quânticos principais. Isto significa que a simetria rotacional sozinha não é suficiente para etiquetar univocamente cada nível de energia no átomo de hidrogênio. Deve haver mais simetrias.