Metodos Matematicos da Fisica

EDO radial. Tanto para Klein-Gordon quanto para Schrödinger, a equação radial a ser resolvida é \( \) \begin{equation} \left(\frac{d^{2}}{dr^{2}}+ \frac{A}{r^{2}}+ \frac{B}{r}+C\right)R=0,\quad (\ast) \end{equation} onde os parâmetros $A$, $B$ e $C$ estão na Tabela 1.

Esta EDO é um caso particular da equação de Whittaker, \begin{equation} \left(\frac{d^{2}}{dz^{2}}+ \frac{\frac{1}{4}-\nu^{2}}{z^{2}}+ \frac{\mu}{z}-\frac{1}{4}\right)w(z)=0,\quad (\ast\ast) \end{equation} cuja solução geral é dada em termos das duas funções de Whittaker linearmente independentes. A solução regular na origem e no infinito é da forma \begin{equation} w(z)=z^{\nu+1/2}e^{-z/2}{}_{1\!}F_{1}(\nu-\mu+1/2;2\nu+1;z),\quad \nu-\mu+\frac{1}{2}=-n,\; n\in\mathbb{N}^{+}. \quad (\bullet) \end{equation} A função hipergeométrica confluente ${}_{1\!}F_{1}$ é proporcional aos polinômios generalizados de Laguerre $L_{n}^{\alpha}$, \begin{equation} L_{n}^{2\nu}(z)=\binom{n+2\nu}{n}{}_{1\!}F_{1}(-n;2\nu+1;z). \end{equation} No entanto precisamos descobrir como as variáveis independentes $r$ e $z$ estão relacionadas.

A solução da EDO $(\ast)$ que nos interessa precisa ser regular na origem ($r\to 0$) e no infinito ($r\to\infty$). No infinito ela se torna em \begin{equation} \frac{d^{2}R}{dr^{2}}=-CR, \end{equation} cuja solução regular é (verifique) \begin{equation} R(r)\propto e^{\lambda r},\quad \lambda=-\sqrt{-C}<0 \implies \lim_{r\to\infty}R\to 0. \end{equation} Em torno da origem, a EDO $(\ast)$ torna-se em \begin{equation} \frac{d^{2}R}{dr^{2}}=-\frac{A}{r^{2}}, \end{equation} cuja solução regular é (verifique) \begin{equation} R(r)\propto r^{\gamma},\quad \gamma(\gamma-1)=-A \implies \gamma=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-A}>0 \implies \lim_{r\to 0}R\to 0. \end{equation} Portanto, a solução regular que estamos procurando é da forma \begin{equation} R(r)=r^{\gamma}e^{\lambda r}S(r), \quad (\bullet\bullet)\end{equation} onde a função $S(r)$ deve ser um polinômio finito em $r$. Comparando $(\bullet)$ e $(\bullet\bullet)$, temos a relação entre as variáveis independentes $r$ e $z$, \begin{equation} -\frac{z}{2}=\lambda r=-\sqrt{-C}r \implies z=2\sqrt{-C}r, \end{equation} e entre os parâmetros $\nu$ e $\gamma$,  \begin{equation} \gamma=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-A}=\nu+\frac{1}{2} \implies \boxed{\nu=\sqrt{\frac{1}{4}-A}}. \end{equation}

Aplicando a mudança de variáveis $z=2\sqrt{-C}r$ na EDO $(\ast)$, temos (verifique) \begin{equation} \left(\frac{d^{2}}{dr^{2}}+ \frac{\frac{1}{4}-\nu^{2}}{r^{2}}+ \frac{2\sqrt{-C}\mu}{r}+C\right)w(z)=0.\quad (\ast\ast') \end{equation} Esta EDO pode ser comparada diretamente com a EDO $(\ast)$: \begin{equation} A=\frac{1}{4}-\nu^{2},\quad B=2\sqrt{-C}\mu \implies \boxed{\mu=\frac{B}{2\sqrt{-C}}}. \end{equation} Uma vez determinado os parâmetros $\nu$ e $\mu$, a condição de quantização $\nu-\mu+1/2=-n$, com $n\in\mathbb{N}^{+}$, a qual garante a regularidade da solução que desejamos, torna-se em \begin{equation} \gamma+\frac{B}{2\lambda}=-n,\quad \lambda=-\sqrt{-C},\quad \gamma=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-A} \end{equation} ou \begin{equation} \boxed{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-A}-\frac{B}{2\sqrt{-C}}=-n}. \end{equation}