Metodos Matematicos da Fisica

EDO. Schrödinger simplesmente destacou a energia relativística \(mc^{2}\), o custo energético de formação do elétron, na energia mecânica, \begin{equation} E=mc^{2}+W, \end{equation} onde $W$ é a energia não-relativística. Desta forma, introduzindo a substituição $E\to E+e\Phi$ na relação de dispersão \begin{equation} E^{2}=(mc^{2})^{2}+(cp)^{2}, \end{equation} obtemos (verifique) \begin{equation} \left[2mc^{2}(W+e\Phi)+(W+e\Phi)^{2}-(cp)^{2}\right]\Psi=0. \end{equation} A conjectura básica é que as energias não-relativísticas sejam muito menores que a energia de formação do elétron, \begin{equation} \frac{(W+e\Phi)^{2}}{mc^{2}}\approx 0. \end{equation} Utilizando esta conjectura e a representação $p^{2}=-\hbar^{2}\nabla^{2}$, obtemos a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio (verifique), \begin{equation} \left(\nabla^{2}+\frac{2me}{\hbar^{2}}\Phi+\frac{2m}{\hbar^{2}}W\right)\Psi=0,\quad \Phi=C_{e}\frac{e}{r}. \end{equation}

Simetria. Como o potencial coulombiano $\Phi$ tem simetria esférica, então a dependência angular da função de onda $\Psi$ pode ser separada (em coordenadas esféricas), \begin{equation} \Psi=\frac{R(r)}{r}Y_{m}^{l}(\theta,\phi). \end{equation} Os harmônicos esféricos $Y_{m}^{l}$ são autofunções da parte angular do operador laplaciano, \begin{equation} \nabla^{2}\psi=\left[\frac{1}{r}\frac{\partial (r\psi)}{\partial r}\right]^{2} + \frac{1}{r^{2}}\mathcal{L}^{2}\psi,\quad \mathcal{L}^{2}Y_{m}^{l}=-l(l+1)Y_{m}^{l},\quad l\in \mathbb{N}^{+},\; -l\leq m\leq l. \end{equation}

EDO radial. Estas considerações de simetria nos permite obter uma EDO para a parte radial da equação de Schrödinger (verifique), \begin{equation} \left(\frac{d^{2}}{dr^{2}}+ \frac{A}{r^{2}}+ \frac{B}{r}+C\right)R=0, \end{equation} onde \begin{equation} A=-l(l+1),\quad B=2\alpha\frac{mc^{2}}{\hbar c},\quad C=2W\frac{mc^{2}}{(\hbar c)^{2}}. \end{equation} Para chegar nesta singela EDO, mas com irregularidades em $r\to 0$ e $r\to \infty$, introduzimos a constante de estrutura fina $\alpha$, \begin{equation} \alpha=\frac{C_{e}e^{2}}{\hbar c}. \end{equation}