Metodos Matematicos da Fisica

Partícula livre. Para uma partícula livre, relativística, com massa \(m\) e quadrimomentum (assinatura $+---$) \begin{equation} (p_{\mu})=\left(\frac{E}{c},-\vec{p}\right), \end{equation} sua relação de dispersão é dada por \begin{equation} p_{\mu}p^{\mu}=(mc)^{2} \implies E^{2}=(mc^{2})^{2}+(cp)^{2}, \end{equation} onde $c$ é a velocidade da luz e $E$ é a energia mecânica (na concepção newtoniana). É esta energia mecânica que medimos. A relação de dispersão indica que a massa $m$ é um invariante (perante às transformações de Lorentz).

Acoplamento mínimo. O átomo de hidrogênio pode ser visto como um elétron (carga teste $q=-e$) acoplado a um próton (carga fonte $Q=e$). Para um próton estático, seus potenciais no sistema internacional (SI) de unidades são \begin{equation} \Phi=C_{e}\frac{e}{r},\quad \vec{A}=0,\quad C_{e}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}=\frac{c^{2}}{10^{7}}\; \frac{\text{N}\text{m}^{2}}{\text{C}^{2}}. \end{equation} Do ponto de vista relativístico, este elétron se acopla ao quadripotencial $(A_{\mu})=(\Phi,-c\vec{A})$ através da regra \begin{equation} p_{\mu}\to \pi_{\mu}=p_{\mu}-\frac{q}{c}A_{\mu}=p_{\mu}+\frac{e}{c}A_{\mu} \implies (\pi_{\mu})=\left(\frac{E}{c}+\frac{e}{c}\Phi,-\vec{p}\right). \end{equation} Isto significa que devemos realizar a troca \begin{equation} E\to E+e\Phi \end{equation} na relação de dispersão.