Metodos Matematicos da Fisica

Uma álgebra pode conter subálgebras. Cada subálgebra precisa ter o mesmo produto de Lie da álgebra maior. A estrutura de uma determinada álgebra de Lie é construída por blocos fundamentais, denominados de álgebras simples ou semissimples cuja a teoria de representação é bem conhecida. Esses blocos fundamentais são evidenciados por subálgebras.

Ideal. Um ideal é uma subálgebra invariante. Os produtos de Lie entre os elementos de um ideal \(\mathcal{I}\) e aqueles da álgebra maior $\mathcal{L}$ estão contidos inteiramente no ideal: \begin{equation} [\mathcal{L},\mathcal{I}]\subset \mathcal{I}. \end{equation}

Solúvel. Alguns produtos de Lie podem ser nulos numa determinada álgebra $\mathcal{L}$. Seja $\mathcal{L}^{(1)}$ o conjunto de todos os elementos não-nulos resultantes de todos os produtos de Lie em $\mathcal{L}$. Simbolicamente: $\mathcal{L}^{(1)}=[\mathcal{L},\mathcal{L}]$. Considere a sequência \begin{equation} \mathcal{L}^{(n)}=[\mathcal{L}^{(n-1)},\mathcal{L}^{(n-1)}],\; n=2,3,\ldots \end{equation} A álgebra $\mathcal{L}$ é solúvel (solvable) se existir um $n$ tal que $\mathcal{L}^{(n)}=\emptyset$.

Radical. Um radical é o ideal solúvel de maior dimensão.

Semissimples. Uma álgebra de Lie é semissimples quando não possui um radical.

Simples. Uma álgebra de Lie é simples quando não possui um ideal.

Exemplo 1. A álgebra euclidiana $\mathcal{E}_{2}=\{J_{z},P_{+},P_{-}\}$ em duas dimensões possui dois geradores $P_{\pm}$ das translações no plano e um gerador $J_{z}$ das rotações em torno do eixo perpendicular ao plano das translações. As translações comutam, mas não comutam com a rotação, \begin{equation} [J_{z},P_{\pm}]=\pm P_{\pm},\; [P_{+},P_{-}]=0. \end{equation} Claramente $\mathcal{L}^{(1)}=\{P_{+},P_{-}\}$ é o ideal de $\mathcal{E}_{2}$. Portanto ela não é simples. Como $\mathcal{L}^{(2)}=\emptyset$, a álgebra de Lie $\mathcal{E}_{2}$ é solúvel. Portanto ela não é semissimples. O radical é $\mathcal{L}^{(1)}$.

Exemplo 2. A álgebra $so(3)=\{J_{z},J_{+},J_{-}\}$, \begin{equation} [J_{z},J_{\pm}]=\pm J_{\pm},\; [J_{+},J_{-}]=2J_{z}, \end{equation} gera as rotações espaciais tridimensionais e as rotações espinoriais bidimensionais. Ela é simples e semissimples (verifique).