Metodos Matematicos da Fisica

Representação adjunta. Toda álgebra de Lie \(\mathcal{L}=\{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\}\) possui uma representação irredutível natural, denominada de adjunta. Nela os elementos da álgebra funcionam ao mesmo tempo como operadores e vetores de base do espaço vetorial onde os operadores atuam. A ação natural é dada pelo produto de Lie, \begin{equation} \hat{X}_{i}X_{j}\equiv [X_{i},X_{j}]=\sum_{k=1}^{n}{C^{k}}_{ij}\,X_{k}.\end{equation} Como a representação adjunta usa as constantes de estrutura, que são reais, ela não será hermitiana.

Exemplo. Considere novamente a a álgebra \(so(3)=\{L_{1},L_{2},L_{3}\},\) com as constantes de estrutura $[L_{i},L_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}L_{k}$. Apenas desta vez, vamos escrever $\hat{L}_{i}$ para enfatizar o papel de operadores dos elementos da álgebra. A ação natural é dada pelo produto de Lie: \begin{equation} \hat{L}_{i}L_{j}\equiv [L_{i},L_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}L_{k}. \end{equation} Ordenando a base como $\{L_{1},L_{2},L_{3}\}$, temos as seguinte representação matricial (verifique): \begin{equation} \hat{L}_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},\; \hat{L}_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\;\hat{L}_{3}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} Note que os coeficientes na combinação linear da ação de um dos operadores são dispostos nas colunas. Os produtos de Lie entre estas matrizes fornecem as mesmas constantes de estrutura da álgebra $so(3)$. Esta representação é fiel: cada matriz se identifica com um único elemento da álgebra.  Como não existe uma transformação para diagonalizar simultaneamente estas três matrizes, esta representação é irredutível.

Tarefa 1. De forma análoga, mostre que a representação adjunta da álgebra $su(2)=\{J_{z},J_{+},J_{-}\}$ (nesta ordem), com $[J_{z},J_{\pm}]=\pm J_{\pm}$ e $[J_{+},J_{-}]=2J_{z}$, é \begin{equation} \hat{J}_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & +1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix},\; \hat{J}_{+}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\;\hat{J}_{-}=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation} Estas matrizes são irredutíveis. Note que a matriz representando $J_{z}$ é diagonal e que $J_{\pm}$ comportam-se como autovetores do operador $\hat{J}_{z}$.

Tarefa 2. Considere a álgebra $su(2)=\{J_{z},J_{+},J_{-}\}$ (nesta ordem), com $[J_{z},J_{\pm}]=\pm J_{\pm}$ e $[J_{+},J_{-}]=2J_{z}$. Faça a modificação $H_{1}=J_{z}$, $E_{\alpha}=\sqrt{2}J_{+}$ e $E_{\bar{\alpha}}=\sqrt{2}J_{-}$ e mostre que as novas constantes de estrutura são $[H_{1},E_{\alpha}]=+E_{\alpha}$, $[H_{1},E_{\bar{\alpha}}]=-E_{\bar{\alpha}}$ e $[E_{\alpha},E_{\bar{\alpha}}]=H_{1}$. Escreva as matrizes da representação adjunta.

Tarefa 3. Considere a álgebra $su(2)=\{J_{z},J_{+},J_{-}\}$ (nesta ordem), com $[J_{z},J_{\pm}]=\pm J_{\pm}$ e $[J_{+},J_{-}]=2J_{z}$. Faça a modificação $h_{1}=2J_{z}$, $e_{\alpha}=J_{+}$ e $e_{\bar{\alpha}}=J_{-}$ e mostre que as novas constantes de estrutura são $[h_{1},e_{\alpha}]=+2e_{\alpha}$, $[h_{1},e_{\bar{\alpha}}]=-2e_{\bar{\alpha}}$ e $[e_{\alpha},e_{\bar{\alpha}}]=h_{1}$. Escreva as matrizes da representação adjunta.