Metodos Matematicos da Fisica

Em geral, uma álgebra de Lie pode ser definida através do conhecimento de suas constantes de estrutura. A teoria de representação das álgebras de Lie estabeleceu uma forma canônica de escrever as constantes de estrutura, para todas as álgebras de Lie. Um feito notável, conseguido graças ao estudo da representação adjunta, discutida na próxima seção. As constantes de estrutura na forma canônica são denominadas de raízes.

Uma vez conhecida as constantes de estrutura, podemos associar operadores aos elementos da álgebra e criar um espaço vetorial onde tais operadores atuam. Escolhida uma base neste espaço vetorial, os operadores podem ser representados matricialmente. Este espaço portador das representações pode ser abstrato ou concreto. Quando ele é concreto, os elementos da álgebra podem, por exemplo, ser realizados/concretizados/representados por operadores diferenciais.

A teoria de representação das álgebras de Lie permite a criação de um espaço portador abstrato para todas as representações irredutíveis das álgebras semissimples. Cada vetor de base neste espaço portador é identificado por um vetor peso. Exceto para as álgebras simpléticas, há também uma prescrição para escrever elementos de matriz, conhecida por método de Gelfand-Tsetlin.

Raízes e pesos formam o cerne da teoria de representação das álgebras de Lie. Em particular, raízes são os pesos da representação adjunta. Pesos formam um espaço vetorial euclidiano. Por conveniência, há pelo menos quatro bases para descrever estes pesos. Em aplicações na Física Quântica, os pesos estão diretamente relacionados com os números quânticos de um conjunto completo de operadores comutantes. Há também uma prescrição para encontrar todos os operadores invariantes funcionalmente independentes numa dada álgebra de Lie. Estes operadores invariantes comutam com todos os elementos da álgebra e fazem o papel dos operadores comutantes em Física Quântica.

Em tempo: numa representação irredutível é impossível encontrar uma transformação que reduza simultaneamente todas as matrizes numa forma diagonal por blocos.