Metodos Matematicos da Fisica

Uma álgebra é completa. O produto entre dois elementos sempre pode ser escrito como uma combinação linear entre os elementos da álgebra, os quais formam uma base. Os coeficientes nestas combinações lineares são denominados de constantes de estrutura. Considerando uma álgebra de Lie \(\mathcal{L}=\{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\},\) de dimensão $n$. Suas constantes de estrutura são os coeficientes reais ${C^{k}}_{ij}$, \begin{equation} [X_{i},X_{j}]=\sum_{k=1}^{n}{C^{k}}_{ij}\,X_{k}.\end{equation} Dada a antissimetria do produto de Lie, as constantes de estrutura também são antissimétricas em seus dois índices inferiores, ${C^{k}}_{ij}=-{C^{k}}_{ji}$.

Exemplo. A álgebra $su(2)=\{J_{z},J_{+},J_{-}\}$, definida pelas relações de comutação \begin{equation} [J_{z},J_{\pm}]=\pm J_{\pm},\; [J_{+},J_{-}]=2J_{z}, \end{equation} tem as seguintes constantes de estrutura não-nulas: \begin{equation} {C^{\pm}}_{z,\pm}=\pm 1,\; {C^{z}}_{+,-}=2. \end{equation} Observe que esta mesma álgebra pode ser escrita noutra forma, $so(3)=\{L_{1},L_{2},L_{3}\}$, onde \begin{equation} L_{1}=-\frac{\mathbb{i}}{2}(J_{+}+J_{-}),\; L_{2}=-\frac{1}{2}(J_{+}-J_{-}),\; L_{3}=-\mathbb{i}J_{z},\end{equation} com as relações de comutação e constantes de estrutura (verifique) \begin{equation} [L_{i},L_{j}]=\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}L_{k}, \; {C^{k}}_{ij}=\epsilon_{ijk}.\end{equation} Observe que em ambas as formas, as constantes de estrutura são reais.

O grupo. Uma álgebra de Lie gera um grupo de transformações lineares via uma aplicação exponencial. Como um exemplo construtivista, considere uma rotação espacial por um ângulo $\theta$ em torno do eixo $Z$ fixo. Esta rotação, por exemplo, atua nas coordenadas de vetores (flechas) através da matriz (verifique) $R(\theta)$, \begin{equation} R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\; 0\leq\theta\leq 2\pi. \end{equation} Note que o ângulo de rotação é compacto, isto é, ele pode ser limitado a um intervalo finito da reta real. Essas rotações formam um grupo (verifique): (i) a identidade é dada por $\theta=0$, $\mathbb{I}=R(0)$; (ii) a rotação inversa é dada por $-\theta$, $R^{-1}(\theta)=R(-\theta)$; (iii) a composição de duas destas rotações é outra rotação, $R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta)=R(\gamma)$; (iv) a regra de composição $\gamma=\alpha+\beta$ é analítica, indicando que se trata de um grupo de Lie; (v) esse grupo é associativo, abeliano e compacto. Próximo à identidade temos (verifique), \begin{equation} R(\Delta\theta)\approx \begin{pmatrix} 1 & -\Delta\theta & 0 \\ \Delta\theta & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbb{I} + \Delta\theta\, L_{3},\; L_{3}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.\end{equation} É imediato reconhecer $L_{3}$ como o gerador das rotações (verifique), \begin{equation} R(\theta)=\exp(\theta L_{3}),\; L_{3}=\left.\frac{dR(\theta)}{d\theta}\right|_{\theta=0}. \end{equation} Note que o gerador $L_{3}$ é anti-simétrico. No entanto, o novo gerador $J_{z}=J_{3}=\mathbb{i}L_{3}$ é hermitiano. Tarefa: com interesse apenas na álgebra, escreva as outras duas matrizes representando as rotações em torno dos outros dois eixos independentes e aplique o procedimento anterior para encontrar os respectivos geradores e mostre que eles formam a álgebra $so(3)=\{L_{1},L_{2},L_{3}\}$.

Este exemplo mostra como os produtos de Lie surgem naturalmente dos geradores de um dado grupo de Lie. Evidentemente, podemos tomar combinações lineares destes geradores para atender a outros propósitos, como a imposição da condição de hermiticidade. Este exemplo mostra também que as constantes de estrutura sempre podem ser escolhidas como reais. Adiantando, a álgebra $so(3)=\{L_{1},L_{2},L_{3}\}$ gera o grupo das rotações espaciais tridimensionais $SO(3)$. Estas rotações, podemos enxergar. Quando impomos a condição de hermiticidade, a álgebra $so(3)$ ganha uma aparência nova, $su(2)=\{J_{z},J_{+},J_{-}\}$. As álgebras $so(3)$ e $su(2)$ são isomórficas (uma pode ser transformada na outra via combinações lineares). No entanto, a álgebra $su(2)$ gera o grupo $SU(2)$, o qual produz também rotações em espinores (que não enxergamos), além de vetores. Os grupos de Lie $SO(3)$ e $SU(2)$ não são isomórficos. Veremos que a álgebra $su(2)$ tem mais representações (irredutíveis) que a álgebra $so(3)$. Enquanto a álgebra $so(3)$ possui apenas representações irredutíveis vetoriais (spin inteiro), a álgebra $su(2)$ possui também as representações irredutíveis espinoriais (spin semi-inteiro), além das representações irredutíveis vetoriais (spin inteiro).

Nomenclatura. A letra $S$ (de special) no nome $SU(2)$ indica que o determinante das matrizes representando este grupo tem módulo unitário. A letra $U$ indica transformações unitárias. O número $2$ indica a menor dimensão do espaço onde tais transformações atuam. Existem apenas cinco famílias de grupos de Lie: os grupos de transformações ortogonais, $O(n=2k+1)$ e $O(n=2k)$, os grupos de transformações unitárias $U(n)$, os grupos de transformações simpléticas, $Sp(n=2k)$, e os grupos excepcionais. Cada grupo tem sua versão especial. Se use letras minúsculas para escrever os nomes das respectivas álgebras. Os grupos excepcionais são denominados pelos nomes de suas álgebras.

Classificação. As álgebras unitárias pertencem à família $A_r$, de dimensão $r(r+2)$. As álgebras ortogonais pertencem às famílias $B_r$, de dimensão $r(2r+1)$, e $D_r$, de dimensão $r(2r-1)$. As álgebras simpléticas pertencem à família $C_r$, de dimensão $r(2r+1)$. Todas tem posto (rank) $r$. As álgebras excepcionais são: $E_6$ de dimensão 78, $E_7$ de dimensão 133, $E_8$ de dimensão 248, $F_4$ de dimensão 52 e $G_2$ de dimensão 14.