Metodos Matematicos da Fisica

Álgebra Linear. Uma álgebra é um espaço vetorial com uma operação binária interna. Por ser um espaço vetorial, podemos realizar combinações lineares entre seus elementos. Usaremos combinações lineares com coeficientes reais, embora seja conveniente, em ocasiões especiais, também usar coeficientes complexos ou quatérnios. A operação binária interna significa que o resultado da combinação entre dois elementos da álgebra será também um elemento desta álgebra. Em geral, dada uma álgebra \(\mathcal{L}\) podemos escrever a operação binária interna na forma \begin{equation} (A,B)\in \mathcal{L}, \end{equation} onde $A$ e $B$ são elementos da álgebra $\mathcal{L}$. A forma específica da operação binária, embora livre para ser criada, surge naturalmente em algum contexto específico.  Quando a operação binária é nula para todos os elementos da álgebra, ela é denominada de abeliana. Uma álgebra $\mathcal{L}$ é dita linear quando seus elementos satisfizerem \begin{equation} (A,B+\alpha C)=(A,B) + \alpha (A,C),\; (A+\alpha B,C)=(A,C)+\alpha (B,C),\; A,B,C\in \mathcal{L},\; \alpha\in\mathbb{R}. \end{equation} Importante ressaltar que uma álgebra contém apenas seus elementos e combinações lineares dos mesmos. Uma álgebra não contém, por exemplo, polinômios de seus elementos. A dimensão de uma álgebra é a quantidade de seus elementos.

Álgebra de Lie. Uma álgebra de Lie $\mathcal{L}$ é uma álgebra linear com a operação binária dada por \begin{equation} (A,B)\to [A,B]\equiv AB-BA,\; A,B\in \mathcal{L}, \end{equation} satisfazendo a identidade de Jacobi, \begin{equation} [A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0,\; A,B,C\in \mathcal{L}. \end{equation} A operação binária $(A,B)$ numa álgebra de Lie é dada pelo comutador $[A,B]=AB-BA$, denominado de produto de Lie. Em geral, os elementos de uma álgebra de Lie serão operadores (diferenciais) ou matrizes. Assim, o "produto" $AB$ poderá representar uma composição entre dois operadores ou um produto matricial. Desta forma, dificilmente o produto de Lie será nulo. Naturalmente, o produto de Lie é anti-simétrico: $[A,B]=-[B,A]$. A identidade de Jacobi, quando escrita noutra forma, exibe a mesma propriedade da derivada de um produto, \begin{equation} [A,[B,C]]=[[A,B],C]+[B,[A,C]]. \end{equation} Note que a identidade de Jacobi impede que uma álgebra de Lie seja associativa. O produto de Lie e a identidade de Jacobi são imposições inerentes ao contexto dos grupos de Lie.