Física Básica I

Considerando o teorema do trabalho-energia cinética e a variação da energia potencial como menos a variação de trabalho, temos \(\) \begin{equation} \Delta W=\Delta T\;\text{e}\; \Delta W=-\Delta V \implies \Delta(T+V)=0. \end{equation} Esta é a razão para termos definido a energia potencial com o sinal negativo em evidência: para que a soma de energias $T+V$ seja constante. Esta soma é denominada de energia mecânica, \begin{equation} E=T+V,\quad T=\frac{1}{2}mv^{2},\quad V=-\int \vec{F}\cdot d\vec{r}. \end{equation}

Teorema 5

Em um sistema contendo apenas forças conservativas, a energia mecânica é constante $\dot{E}=0$, $E=T+V$.

Esse Teorema 5 confere o adjetivo "conservativo" às forças que produzem um trabalho nulo numa trajetória fechada, quesito básico para se definir a energia potencial e, portanto, a energia mecânica. A energia mecânica é um número constante (conservado) durante o movimento produzido por uma força conservativa. Esta quantidade escalar conservada levou séculos para ser descoberta. A conservação da energia mecânica (Teorema 5) e do momentum linear (Teorema 1) constituem as leis de conservação para o movimento de translação.

As forças fundamentais na nossa natureza são conservativas. Entre elas, temos explorado a força gravitacional logo acima da superfície terrestre (a gravidade). A força elástica (de origem eletromagnética) também é conservativa. Por outro lado, qualquer força dependente da velocidade, como a força viscosa, não é conservativa. Basta a presença de uma única força não-conservativa em um sistema mecânico, mesmo contendo outras forças conservativas, para quebrar a conservação da energia mecânica. Em sistemas não-conservativos, a energia mecânica é transformada em outros tipos de energia, como térmica, por exemplo, muito comum na presença de atrito e viscosidade. Para constar, potência é a taxa de variação temporal de uma dada energia.

A conservação da energia mecânica implica numa troca instantânea entre as energias cinética e potencial. O trabalho é o processo que quantifica essas trocas de energias. Por isso não podemos interpretar o trabalho como algo pertencente a um objeto ou a um sistema mecânico. A energia cinética pertence a um objeto (com velocidade) e a energia potencial pertence ao sistema mecânico.  Alguns casos são comentados a seguir.

Lançamento oblíquo. Considerando a trajetória parabólica no lançamento oblíquo discutido na Seção 2.5, \begin{equation} x(t) = 0,\quad y(t) = v_{0}\cos(\theta)\, t,\quad z(t) = v_{0}\sin(\theta)\, t-\frac{1}{2}gt^{2}, \end{equation} produzida pela força $\vec{F}_{g}=-mg\,\hat{k}$, podemos calcular a energia mecânica deste sistema. O módulo (ao quadrado) do vetor velocidade é \begin{equation} v^{2}(t)=\vec{v}\cdot\vec{v}= v_{0}^{2}-2v_{0}\sin(\theta)\,g t +(gt)^2, \end{equation} e a energia cinética correspondente é \begin{equation} T(t)=\frac{1}{2}mv^{2}(t)= \frac{1}{2}mv_{0}^{2}-mg\,v_{0}\sin(\theta)\, t +\frac{1}{2}mg\,gt^2. \end{equation} A energia potencial é dada pela integral da projeção da força peso ao longo da trajetória, \begin{equation} -\vec{F}_{g}\cdot d\vec{r}=-(-mg\,\hat{k})\cdot(dx\hat{i}+dy\hat{j}+dz\hat{k})=mg\,dz, \end{equation} que pode ser integrada ao longo do eixo Z (verifique), \begin{equation} V=-\int\vec{F}_{g}\cdot d\vec{r}=mg\int\,dz=mg\,z +C=V(z),\end{equation} onde $C$ é uma constante arbitrária. Para vermos a dependência explicita da energia potencial com o tempo, devemos usar a equação horária $z(t)$, \begin{equation} V(t)=mg\,z(t) +C=mg\,v_{0}\sin(\theta)\, t-\frac{1}{2}mg\,gt^{2}+C.\end{equation} Note como a energia potencial é uma função linear da coordenada $z$, a altura acima do solo (plano XY), e somente desta coordenada. Com a escolha $C=0$, esta energia potencial é nula no plano XY e máxima na altura máxima $z=H$. Mesma com as energias cinética e potencial variando um função do tempo (ou da posição), a energia mecânica torna-se uma quantidade conservada, \begin{equation} E=T(t)+V(t)=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}+C. \end{equation} A constante arbitrária pode ser escolhida como zero no instante inicial. Assim, a energia mecânica deste sistema é constante e igual (naturalmente) à energia cinética inicial. Resta reobter a força peso a partir da energia potencial (verifique), \begin{equation} \vec{F}_{g}=-\vec{\nabla}V=-\frac{dV}{dz}\,\hat{k}=-mg\,\hat{k}. \end{equation}

Oscilador harmônico. Consideremos agora o sistema massa-mola discutido na Seção 2.6. O movimento está inteiramente ao longo do eixo X, com a equação horária \begin{equation} x(t)=A\cos\theta(t),\quad \theta(t)=\varphi+\omega_{0} t, \end{equation} criada pela força elástica $\vec{F}_{e}=-kx\,\hat{i}$. A energia cinética é (verifique) \begin{equation} T(t)=\frac{1}{2}mv^{2}(t)= \frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}A^{2}\sin^{2}\theta(t)=\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\theta(t). \end{equation} A energia potencial é (verifique) \begin{equation} V=-\int\vec{F}_{e}\cdot d\vec{r}=-\int(-kx\,\hat{i})\cdot(dx\hat{i}+dy\hat{j}+dz\hat{k})=k\int xdx= \frac{1}{2}k\,x^{2}+C=V(x). \end{equation} A constante arbitrária $C$ pode ser escolhida como zero para termos uma energia potencial elástica nula quando a mola não é deformada ($x=0$), \begin{equation} V(t)= \frac{1}{2}k\,x^{2}(t)=\frac{1}{2}k A^{2}\cos^{2}\theta(t).\end{equation} Desta forma a energia mecânica é conservada \begin{equation} E=T(t)+V(t)=\frac{1}{2}kA^{2}. \end{equation} Note que esta energia mecânica é numericamente igual à energia potencial elástica com o objeto na posição extrema $x=\pm A$, no instante em que sua velocidade é momentaneamente nula. Quando a mola não está deformada, $x=0$, a energia mecânica é composta somente pela sua energia cinética. Faça um gráfico mostrando estas três energias como funções do tempo (verifique). Resta reobter a força elástica a partir da energia potencial (verifique), \begin{equation} \vec{F}_{e}=-\vec{\nabla}V=-\frac{dV}{dx}\,\hat{i}=-kx\,\hat{i}. \end{equation}

Exercícios. Detalhe todas as passagens sinalizadas por "verifique".