Física Básica I

Podemos classificar forças em dois tipos: aquelas que deixam o trabalho \(\) \begin{equation} \Delta W=\int\limits_{t_{0}}^{t} \vec{F}\cdot d\vec{r}, \end{equation} independente da trajetória e aquelas que deixam o trabalho dependente da trajetória. As forças que deixam o trabalho independente da trajetória são denominadas de forças conservativas (por razões óbvias vistas a seguir). Portanto, para as forças conservativas, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Isto implica em um trabalho nulo numa trajetória fechada, \begin{equation} \Delta W=\oint \vec{F}\cdot d\vec{r}=0. \end{equation} Esta integral numa trajetória fechada igual a zero é uma definição matemática de uma força conservativa.

Como o trabalho de uma força conservativa é uma função (escalar) da posição $\vec{r}$, podemos rebatizá-lo de energia potencial, \begin{equation} V=-\int \vec{F}\cdot d\vec{r}=V(\vec{r}), \end{equation} onde o sinal negativo foi introduzido por mera conveniência. Também por conveniência, a integral aqui pode ser efetuado de forma indefinida. Isto significa que energia potencial, ao contrário da energia cinética, está definida a menos de uma constante arbitrária (vinda da integração). Importante: a energia potencial somente pode ser definida para forças conservativas, onde o trabalho torna-se uma função da posição. Não existe a definição de energia potencial para forças não-conservativas.

Dado o teorema fundamental do cálculo, estabelecendo uma relação entre derivada e integral, ao tomarmos uma derivada (espacial) da energia potencial devemos obter o integrando. Do ponto de vista técnico, podemos tomar derivadas espaciais em cada uma das três direções espaciais, ou em relação a cada uma das componentes $x_{i}$ do vetor posição $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ num sistema de coordenadas ortonormal. A implementação aqui deste teorema fundamental é feita definindo o operador vetorial, \begin{equation} \vec{\nabla}=\hat{i}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial}{\partial z}, \end{equation} denominado de gradiente. O operador vetorial gradiente atua em funções da posição, como nossa energia potencial, \begin{equation} \vec{\nabla}V(\vec{r})=\hat{i}\frac{\partial V}{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial V}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial V}{\partial z}, \end{equation} produzindo um vetor (um campo vetorial em geral). Além das regras usuais de derivadas, a derivada parcial $\partial/\partial x$ considera as outras variáveis $y$ e $z$ como constantes. Portanto, o teorema fundamental pode ser estabelecido:

Teorema 4

Dada a energia potencial $V(\vec{r})$, a força conservativa associada é \begin{equation}\vec{F}=-\vec{\nabla}V(\vec{r}). \end{equation}

O Teorema 4 mostra claramente porque a energia potencial pode ser definida com uma constante aditiva: quando se precisa dela é via derivadas espaciais que eliminam qualquer constante aditiva. Desta forma, podemos escolher um valor para a energia potencial em algum lugar do espaço e determinar a constante aditiva como consequência desta escolha. Vale observar o papel fundamental da energia potencial: é um campo escalar cujas variações espaciais geram uma força (um campo vetorial). Do ponto de vista computacional é mais econômico guardar a energia potencial, por ser um campo escalar (uma informação), do que a força, um campo vetorial (três informações). A mudança do caráter escalar para vetorial é efetuada pelo operador gradiente (também de baixo custo computacional).