Exercício para entregar 1
Este é o primeiro exercício para entregar do curso. Leia as instruções abaixo atentamente.
A data limite para entregar a sua resolução é dia 28/08/2023 às 23:59h. Não será aberta nenhuma exceção para entregas após esse horário, portanto não deixe para a última hora para subir sua resolução. A legibilidade do arquivo que você enviar também é de sua responsabilidade e não será permitida a troca de arquivos após o envio. O arquivo enviado deve estar em formato PDF. Pode ser uma digitalização de uma resolução escrita a mão, ou pode ser digitado (utilizando latex, por exemplo).
Para facilitar a correção dos exercícios, caso você tenha feito o exercício em papel e depois digitalizado, por favor entregue também em papel na aula do dia 31/08/2023. Importante: a entrega do arquivo online dentro do prazo é obrigatória; so você fizer em formato digital não precisa imprimir para entregar em papel.
Durante a resolução do exercício você pode consultar qualquer material didático que quiser. Você também pode utilizar qualquer software que quiser. Além disso, você pode discutir a questão com colegas de turma. A única coisa que peço é que cada pessoa escreva a sua própria resolução deixando claro o que entendeu e o que não entendeu. Não tente simplesmente copiar a resolução de outra pessoa, pois se fizer isso não vai obter um diagnóstico sobre a sua aprendizagem até o momento. Esse diagnóstico é muito mais importante do que a nota no exercício. Mais importante que isso é que eu trato vocês com muito respeito, e para mim, vocês seguirem as regras propostas é uma forma de vocês também me respeitarem.
Resolvam a questão abaixo. Justifique claramente todos os passos da sua resolução! Não deixem de fora das explicações os aspectos da teoria dada no curso que estejam utilizando.
Questão T1: Seja \(T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \to M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) a função \(T(A) = A - A^t\), onde \(A^t\) denota a matriz transposta da matriz \(A\).
a) (4 pontos) Mostre que \(T\) é uma transformação linear.
b) (4 pontos) Determine a imagem e o núcleo de \(T\). Encontre geradores para estes subespaços. Justifique sua resposta.
c) (2 pontos) Determine se \(T\) é injetora, sobrejetora, bijetora (ou nenhuma das anteriores). Justifique sua resposta.